机器人技术 二、齐次坐标变换.ppt

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1、齐次坐标变换主讲：吴海彬福州大学机械工程及自动化学院第二讲主要内容引言点的向量表示单位向量点和向量的齐次表示坐标系的位姿刚体的位姿平移变换旋转变换一般变换相对参考坐标系的变换相对自身坐标系的变换引言(Introduction)机器人运动学解决的基本问题：正向运动学逆向运动学机器人机构一个自由度情况多个自由度情况误差的反馈点、向量和坐标系的传统表示坐标轴的定义或或非方阵相乘结果的维数发生变化点、向量和坐标系的齐次表示在三维向量中加入一比例因子w；其物理意义是，随着W的改变，向量的大小会发生变化，而方向不变；W大于1，向量的分量变大；W

2、小于1，向量的分量变小；若W＝1，各分量大小不变；若W＝0，则表示一个无穷小的向量，其方向不变。第二章机器人运动学其中齐次坐标与传统坐标的关系点、向量和坐标系的齐次表示第二章机器人运动学因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：例：有一向量P（3，5，2），请按如下要求表示成矩阵形式：1、比例因子为2；2、表示为方向的单位向量。点、向量和坐标系的齐次表示原点重合情况坐标系的齐次表示是由坐标系的三个方向向量和原点位置齐次坐标组成：例：如图所示为F坐标系位于参考坐标系中（

3、3，5，7）的位置，它的n轴与x轴平行，o轴相对于y轴的角度为45度，a轴相对于z的角度为45度。请写出该坐标的齐次表达形式。点、向量和坐标系的齐次表示第二章机器人运动学刚体的表示一个刚体在空间的表示可以这样实现：通过在它上面固连一个坐标系，再将该固连的坐标系在空间表示出来。由于这个坐标系一直固连在该刚体上，所以该刚体相对于坐标系的位姿是已知的。因此，只要这个坐标系可以在空间表示出来，那么这个刚体相对于固定坐标系的位姿也就已知了。由此可知，刚体在参考坐标系的表示与坐标系是完全一样的。图约束变量点、向量和坐标系的齐次表示第二章机器人运

4、动学由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知，该矩阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互独立的，而是有约束的，约束条件为：1、三个方向向量相互垂直；2、每个单位向量的长度均为1。即：已知两个向量a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzk向量的点积是标量。用“·”来定义向量点积，即a·b=axbx+ayby+azbz向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”表示叉积，即a×b=(aybz¯azby)i+(azbx¯axbz)j+(a

5、xby¯aybx)k可用行列式表示为ijka×b=axayazbxbybz例题点、向量和坐标系的齐次表示第二章机器人运动学对于下列坐标系，求解所缺元素的值，并用矩阵来表示这个坐标系。注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：进一步有齐次变换矩阵变换定义为空间的一个运动；当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示；变换有如下几种形式：纯平移，纯旋转，平移和旋转的结合。第二章机器人运动学纯平移齐次变换矩阵第二章机器人运动学特点：运动过程中姿态不变，坐标方向单位向量保

6、持同一方向不变。变换矩阵可表示为变换过程为：注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵左乘，公式为例纯旋转(相对坐标绕参考坐标X轴）齐次变换矩阵第二章机器人运动学例必须从原点开始变换！纯旋转齐次变换矩阵第二章机器人运动学也就相当于旋转变换前在固定参考坐标系的初始位置。式中图、例注：相对固定坐标系的旋转，变换矩阵左乘，公式为绕x轴旋转可简写成其中同理纯旋转－例题齐次变换矩阵第二章机器人运动学旋转坐标系中有一点P（2，3，4），此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90度。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。复合变换齐次变换矩阵第二章机器人运动学特点：既

7、有平移，又有旋转，而且可以多次。假设坐标系（n，o，a）相对于参考坐标系（x，y，z）依次进行如下变换：1、绕x轴旋转角；2、平移；3、再绕y轴旋转角。注：矩阵的顺序不能变；相对固定坐标系的平移和旋转，变换矩阵左乘。例复合变换例题齐次变换矩阵相对坐标系的齐次矩阵固连在坐标系（n，o，a）上的点P（7，3，2）经历如下变换，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。1、绕z轴旋转90度；2、接着绕y轴旋转90度；3、接着再平移（4，-3，7）。复合变换例题齐次变换矩阵第二章机器人运动学假设（n，o，a）坐标系上的点P（7，3，2）也经历相

8、同变换，但变换顺序按如下进行，求出变换后该点相对于参考坐标系的坐标。1、绕z轴旋转90度；2、接着平移（4，-3，7）；3、接着再绕y轴旋转90度。相对动坐标系的变换齐次变换矩阵第二章机器人运动学相对运动坐标系的变换与相对固定参考坐标