图形变换与齐次坐标.ppt

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1、图形变换是计算机图形学基础内容之一几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。图形变换和齐次坐标图形的几何变换几何变换：图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。几何变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；2.图形改变，坐标系不变。二维图形变换1.平移变换从点P[x,y]平移到点P’[x’,y’]x’=x+my’=y+nP(x,y)P’(x’y’)mnXYyxP(x,y)P´(x´,y´)mnyxxy2旋转变换αθρ(x,y)(x’,y’)一个点绕原点的旋转，逆时针方

2、向为正。yyxxθθy´x´P(x,y)P(x,y)P´(x´,y´)P´(x´,y´)3比例变换P(x,y)P’(x’,y’)x’=x*sxy’=y*sySx=Sy：均匀缩放。Sx=Sy>1，放大Sx=Sy<1，缩小Sx不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩YX4.对称变换关于X轴的对称变换P(x,y)对称点为P’(x,-y)关于Y轴的对称变换P(x,y)对称点为P’(-x,y)关于坐标原点的对称变换P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)5错切变换(SHEAR)(1)沿x方向产生错切x’=x+y*tag(θ)y’=y(2)沿y方向产生错切x’=xy’=y+x*tag(θ)θ(x

3、,y)(x’,y’)θ(x,y)(x’,y’)YXYX1.齐次坐标齐次坐标就是一个n维矢量的(n+1)维矢量表示。例如：二维坐标点P(x,y)的齐次坐标为：(H*x,H*y,H)。二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格化的齐次坐标，即取H=1。(x,y)的规格化齐次坐标为(x,y,1)。齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维向量。二维图形变换的矩阵表示齐次坐标的作用：1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算实现图形变换，或者把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x*H,

4、y*H,H)，令H等于0，齐次坐标与二维变换的矩阵表示多个变换作用于多个目标变换合成变换合成的问题引入齐次坐标变换的表示法统一1.恒等变换2.比例变换3.对称变换关于X轴的对称变换关于Y轴的对称变换关于坐标原点的对称变换5.旋转变换其矩阵表示为：αθρ(x,y)(x’,y’)6.平移变换P(x,y)P’(x’y’)mnXY变换过程如下：(m,n)(x,y)θ(x’,y’)(x1,y1)θ(x2,y2)mn123(x’,y’)7.绕任一点的旋转变换假定该任一点为P(m,n),旋转角为θT1T2T3T=T1T2T3称为矩阵级联，也称复合变换。复合变换及变换的模式问题：如何实现复杂变换？关于任

5、意参照点的旋转变换复合变换及变换的模式复合变换及变换的模式变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘法不可交换）Translate2D(1,0);Rotate2D(45);House();Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();求变换矩阵是要明确变换模型左乘右乘采用变换矩阵左乘的图形系统一般用堆栈实现先调用的变换后执行，后调用的变换先执行特别注意三维几何变换1.三维变换矩阵统一的二维变换矩阵：那么，可否有统一的三维变换矩阵?2.三维基本变换轴向比例变换x’=axy’=ey[x‘y’z‘1]=[axeyjz1]z’=jz矩阵表示：全比例变换当变换矩阵取下列值时：

6、[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1]当s>1,沿三个轴向等比例缩小当0

7、1]=[x+dxy+dyz+dz1]=旋转变换绕X轴变换空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x’=xy’=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz’=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθXYZ(x,y)(x’y’)θθYZαOO(x’y’)(x,y)矩阵表示为：绕Y轴旋转此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x’=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy’=yz’