本科经济计量学第4章(第

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1、第4章：一些重要的概率分布(由4.1.5中心极限定理开始]第4章：一些重要的概率分布总结F分布4.5t分布4.4分布4.34.2正态分布4.14.1正态分布（normaldistribution）表示密度函数正态变量的概率密度：最重要的一种概率分布。连续型分布。正态分布的图形u68.3%95.4%99.7%4.1.1正态分布的性质3.分布曲线下的面积约有68%位于之间；约95%位于之间。4.可由均值和方差两个参数来描述。5.两个或多个正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。6.正态分布的偏度S=0，峰度K=368.3%95.4%99.7%1.分布曲线以均值为中心对称。2.分布曲线呈中间高、

2、两边低，在均值最高。例4.1：令X表示在曼哈顿非商业区一花商每日出售的玫瑰花数量，Y表示在曼哈顿商业区一花商每日出售的玫瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有：X~N(100,64)，Y~N(150,81)，求两天内两花商出售玫瑰花数量的和的期望和方差？解：设随机变量W表示两天内两花商出售玫瑰花数量的和，则有：W=2X+2Y则因为X和Y相互独立，且都服从正态分布，所以W也服从正态分布，且期望为：E(W)=E(2X+2Y)=2E(X)+2E(Y)=200+300=500方差为：Var(W)=Var(2X+2Y)=4Var(X)+4Var(Y)=4*64+4*81=580所以：

3、W~N(500,580)4.1.2标准正态分布标准正态分布：均值为0，方差为1时的正态分布。当标准正态分布密度函数参考正态分布密度函数标准正态分布的性质任何给定均值和方差的正态变量X都可以转化为标准正态变量。用新变量Z替换：(a)(b)(c)同方差，不同均值不同方差，同均值不同方差，不同均值例4.2（掌握标准正态分布表的使用方法）变量X表示面包房每日出售的面包量，假定其服从均值为70，方差为9的正态分布，即X～N(70,9)，任给一天，求（1）出售面包数量大于75的概率。（2）出售面包数量小于等于75的概率。（3）出售面包数量在65与75之间的概率。（4）出售面包数量在大于75或小于65

4、的概率。例3.10解：（1）（2）（3）（4）4.1.3从正态总体中随机抽样可从一给定均值和方差的正态总体中生成一随机样本。也可以利用标准正态分布的随机样本，将它转化为不同均值和方差的正态分布。许多统计软件包都有从常用的概率分布获得随机样本的程序，称为随机数字生成器（randomnumbergenerators）。见Excel文件。4.1.4样本均值的抽样分布或概率分布随机抽样与简单随机样本随机抽样(randomsampling)：最常用的抽取样本的方法，它要求抽取的样本满足等可能性和独立性，即每一个个体被抽取的可能性是相等的，且样本各个体之间是相互独立的。这样抽样得到的样本被称为简单随

5、机样本或独立同分布随机样本（i.i.d）。(Independentlyandidenticallydistributedrandomvariables)例：X1，X2，…，Xn是从一个正态总体N(u,σ2)中抽取的一个简单随机样本，则X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量，同服从N(u,σ2)。统计量：不含未知参数的样本的函数。例如样本均值和样本方差。抽样分布：样本统计量的分布被称为抽样分布。例4.6：某总体服从正态分布，正态分布的均值为10，方差为4，即N(10,4)。从这个正态总体中抽取20个随机样本，每个样本包括20个观察值。对抽取的每个样本，计算得到其样本均值，因而可得到20

6、个样本均值，见Excel文件。通过实例我们可以看出，正态分布的i.i.d样本的样本均值也服从正态分布。实际上，我们可以严格证明下面这一结论：正态分布的样本均值的抽样分布也是正态分布。且有很容易利用标准正态分布表中计算某一给定样本均值大于或小于某一给定的总体均值的概率。利用变换公式：例4.7：令X表示某一型号汽车每消耗一加仑汽油所行驶的距离（英里）。已知X～N(20,4)，则对一个有25辆汽车组成的随机样本，求：（a）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离大于21英里的概率；（b）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离小于18英里的概率；（c）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离介于19和21英里之间的概

7、率。所以（a）（b）（c）解：则样本均值也服从正态分布，且其均值为u，方差为。若来自于的正态总体的随机样本。即有：前面已经知道：4.1.5中心极限定理如果样本不是来自于正态总体呢？如果样本（）是来自于任一总体（均值为u，方差为）的随机样本，当样本容量n无限增大时，其样本均值将趋于正态分布，且其均值仍为u，方差为。即：简言之，若样本容量足够大，则来自于任意分布总体的随机样本，其样本均值近似服从正态分布。这就是中心极限定理。(a)来自正