立体几何中平行与垂直的证明3

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1、垂直与平行的问题例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证MN∥平面BCE证法一作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE证法二如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴连结NH，由BF=AC，FN=AM，得∴NH//AF//BE由MH//BC,NH//BE得:平面M

2、NH//平面BCE∴MN∥平面BCE例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC(1)若D是BC的中点，求证AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由(1)证明∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1(2)证明延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B

3、1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C(3)解结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1例3已知斜三棱柱ABC—A1

4、B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直(1)求证AB1⊥C1D1；(2)求证AB1⊥面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角(1)证明∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1(2)证明连结D1D，∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1

5、ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD(3)解由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=，∴∠OCA=学生巩固练习1在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()ABCD2在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则()Aa不和b垂直，但可能a∥bBa可能和b垂直，也可能a∥bC

6、a不和b垂直，a也不和b平行Da不和b平行，但可能a⊥b3设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号)①X、Y、Z是直线②X、Y是直线，Z是平面③Z是直线，X、Y是平面④X、Y、Z是平面4设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直③过a一定可以作一个平面与b垂直④过a一定可以作一个平面与b平行5如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面

7、，E、F分别是AB、PC的中点(1)求证CD⊥PD;(2)求证EF∥平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？6如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明7如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3(1)若M为AB中点，求证BB1∥平面

8、EFM；(2)求证EF⊥BC；(3)求二面角A1—B1D—C1的大