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《3.中点方法证明立体几何中的垂直平行》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)中点方法证明立体几何中的垂直平行立体几何中垂直平行的一个证明方法立体几何中的垂直、平行的证明是高考的必考问题,当有中点条件出现或适当地引入中点,并灵活运用中点性质,是证明垂直、平行的有力方法.[母题结构]:立体几何中的中点方法.[解题程序]:立体几何中的中点方法包括三个层次的问题:①构造中点:除取棱的中点外,还可利用平行四边形的对角战线互相平分,构造中点;②中点性质:等腰三角形三线合一定理,中位定理,并
2、由此可得:空间四边形各边中点构成平行四边形的顶点;③利用中点性质,解决相关问题.1.活用中点巧证明子题类型Ⅰ:(1982年全国高考试题)已知空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证:MNPQ是一个矩形.[解析]:由M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点MN∥AC,PQ∥AC,MQ∥BD,NP∥BDMN∥PQ,MQ∥NP四边形MNPQ是平行四边形;取AC的中点K,由AB=BC,CD=DABK⊥AC,DK⊥ACAC⊥平面BDKAC⊥
3、BDMQ⊥PQ平行四边形MNPQ是一个矩形.[点评]:若出现了中点条件,这时我们应特别留意这一条件,因为它往往是解决本题的关键,在立体几何中若能利用好中点,平行问题的证明将会变得更具特征性.2.选取中点证平行子题类型Ⅱ:(2014年四川高考试题)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(Ⅰ)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)由四边形ABB1A1
4、和ACC1A1都为矩形A1A⊥AB,A1A⊥ACA1A⊥平面ABCA1A⊥BC,又AC⊥BC直线BC⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)取AB的中点M,设O为A1C,AC1的交点,则O为AC1的中点MO∥BC1;由D,E分别是线段BC,CC1的中点DE∥BC1MO∥DE,又MO平面A1MC,DE平面A1MCDE∥平面A1MC线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.[点评]:选取中点证平行的原则为:若知一中点,即想办法找出另一个中点,注意能否应用三角形中位线、梯形中线等,使之能利用中位线性质,得
5、到两直线平行或平行四边形.3.构造中点证垂直子题类型Ⅲ:(2011年江西高考试题)如图,在ΔABC中,∠B=,AB=BC=2,P为AB边上一动点,PD∥BC交AC于点D,现将ΔPDA沿PD翻折至ΔPD,使平面PD⊥平面PBCD.(Ⅰ)当棱锥-PBCD的体积最大时,求PA的长;(Ⅱ)若点P为AB的中点,E为C的中点,求证:B⊥DE.[解析]:(Ⅰ)设PA=x,则PB=x,BP=2-x直角梯形BCDP的面积S=(2+x)(2-x);由P⊥PD,平面PD⊥平面PBCDP⊥平面PBCD棱锥-PBCD的体积V(x)=S
6、P=(2+x)(2-x)x(x)=(4-3x2)当x=,即PA=时,V(x)取最大值;(Ⅱ)取B的中点F,由E为C的中点EFBC;由点P为AB的中点PDBCPDEF四边形EFPD为平行四边形DE∥PF;在等腰直角ΔBP中,PF⊥BB⊥DE.[点评]:当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时,利用好中点性质,即等腰三角形三线合一定理,往往是解题的关键．4.子题系列:1.(2009年江苏高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
7、(Ⅰ)EF∥平面ABC;(Ⅱ)平面A1FD⊥平面BB1C1C.2.(2011年江苏高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=600,E、F分别是AP、AD的中点.求证:(Ⅰ)直线EF∥平面PCD;(Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.3.(2012年江苏高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(Ⅰ)平面ADE⊥平面BCC1B1;(Ⅱ)直线A1F∥平面A
8、DE.4.(2014年江苏高考试题)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.(Ⅰ)求证:直线PA∥平面DEF;(Ⅱ)平面BDE⊥平面ABC.5.(2009年山东高考试题)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.
