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《立体几何中的向量方法——证明平行及垂直.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥
2、α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)
3、若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( )(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )..A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α的是( )A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－
4、4,4,0)D．P(3，－3,4)3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．4．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD...如图，在棱长为2的正方体
5、ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．..题型二 证明垂直问题例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD... 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形AB
6、CD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD...题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．.. 如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面
7、边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．..利用向量法解决立体几何问题..典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E－ACD的体积．..A组 专项基础训练1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．
8、l与α相交2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(
