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时间:2020-09-18
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1、第6讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直考试要求1.直线的方向向量及平面的法向量,B级要求;2.用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系,B级要求;3.用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理,B级要求.知识梳理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l或,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.平行重合λn2n1·n2=0n·m=0λmλmn·m=0规律方法(1)恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标
2、,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)用向量证明垂直的方法①线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.②线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理
3、用向量表示.③面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.规律方法向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论.(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.[思想方法]1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理
4、的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.3.用向量的坐标法证明几何问题,建立空间直角坐标系是关键,以下三种情况都容易建系:(1)有三条两两垂直的直线;(2)有线面垂直;(3)有二面垂直.
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