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1、3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量1lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量一、方向向量与法向量22、平面的法向量AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量3oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)4
2、56练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为7因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决几何问题8二、 立体几何中的向量方法——平行关系9ml一.平行关系：10α11αβ12例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与
3、另一个平面平行,则这两个平面平行已知直线l与m相交,αβｌｍ13例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线几何法呢？14例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面E
4、DB.ABCDPEXYZG解1立体几何法15ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG16ABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为17ABCDPEXYZ解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：解得x＝－２,ｙ＝１18练如图，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，点分别在对角线上，且求证：ABCEFDMN几何法呢？19三、 立
5、体几何中的向量方法——垂直关系20二、垂直关系：lm21lABC22αβ23例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证1立几法24例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证2MN⊥AB,同理MN⊥CD.25例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证3如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy26练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的
6、动点，且AF=BE,求证：O’C’B’A’OABCEFZxy解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.27ABCDPEFXYZ证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.28ABCDPEFXYZ证2：29A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以30A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.证明2：31
7、,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.平面EBD32证明2：E,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.求证：平面EBD33ABCDPXYZG343.2.4立体几何中的向量方法——夹角问题35夹角问题：lmlm36夹角问题：ll37夹角问题：38夹角问题：39解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以与所成角的余弦
8、值为40解241练习空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD与BC所成的角大小.42例：的棱长为1.解1建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yzEF43例：的棱长为1.解2A1xD1B1ADBCC1yzEF44例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(3)求二面角
