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《立体几何中平行与垂直的证明3 (2).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高中数学专题复习讲座关于求空间的角的问题例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点(1)求证四边形B′EDF是菱形;(2)求直线A′C与DE所成的角;(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角;(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角(1)证明如上图所示,由勾股定理,得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面,取AD中点G,连结A′G、EG,由EGABA′B′知,B′EGA′是平行四边形∴B′E∥A′G,又A′FDG,∴A′GDF为平行四边形∴A′G∥FD,∴B′、E、D、F四点共面故四边
2、形B′EDF是菱形(2)解如图所示,在平面ABCD内,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角在△A′CP中,易得A′C=a,CP=DE=a,A′P=a由余弦定理得cosA′CP=故A′C与DE所成角为arccos另法(向量法)如图建立坐标系,则故A′C与DE所成角为arccos(3)解∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线,故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′在Rt△B′AD中,AD=a,AB′=a,
3、B′D=a则cosADB′=故AD与平面B′EDF所成的角是arccos另法(向量法)∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线,故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′,如图建立坐标系,则,故AD与平面B′EDF所成的角是arccos(4)解如图,连结EF、B′D,交于O点,显然O为B′D的中点,从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心作OH⊥平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心,再作HM⊥DE,垂足为M,连结OM,则OM⊥DE,故∠OMH为二面
4、角B′—DE′—A的平面角在Rt△DOE中,OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在Rt△OHM中,sinOMH=故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin另法(向量法)如图建立坐标系,则,所以面ABCD的法向量为下面求面B′EDF的法向量设,由∴∴故面B′EDF与面ABCD所成的角为例2如下图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°求(1)AC1的长;(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值∴BD1与AC所成角的余弦值为例3如图,为
5、60°的二面角,等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上,M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角(1)求证MN分别与α、β所成角相等;(2)求MN与β所成角(1)证明作NA⊥α于A,MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM,再作AC⊥l于C,BD⊥l于D,连接NC、MD∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角,∠MNB,∠NMA分别是MN与β,α所成角,∴∠MPB=∠NPA在Rt△MPB与Rt△NPA中,PM=PN,∠MPB=∠NPA,∴△MPB≌△NPA,∴MB=NA在Rt△MNB与Rt△NMA
6、中,MB=NA,MN是公共边,∴△MNB≌△NMA,∴∠MNB=∠NMA,即(1)结论成立(2)解设∠MNB=θ,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asinθ,NB=acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角,∴∠MDB=60°,同理∠NCA=60°,∴BD=AC=asinθ,CN=DM=asinθ,∵MB⊥β,MP⊥PN,∴BP⊥PN∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴整理得,16sin4θ-16sin2θ+3=0解得sin2θ=,sinθ=,当sinθ=时,CN=asi
7、nθ=a>PN不合理,舍去∴sinθ=,∴MN与β所成角为30°另法(向量法)如图设的法向量为,的法向量为,模均为1,由题意,,设,则,,,且所以=或=-所以,MN分别与α、β所成角相等学生巩固练习1在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()ABCD2设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直,且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为()A30°B45°C60°D75°3已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平
8、面的斜线OC,与OA、OB分别成45°、60°,则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于______4正三棱锥的一个侧