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1、§1幂级数一般项为幂函数的函数项级数称为幂级数,这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有着特殊的地位,在函数逼近和近似计算中有重要应用,特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.返回三、幂级数的运算一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质一、幂级数的收敛区间幂级数的一般形式为为方便起见,下面将重点讨论,即换成的情形.因为只要把(2)中的就得到(1).首先讨论幂级数(2)的收敛性问题.显然形如(2)的任意一个幂级数在处总是收敛的.除此之外,它还在哪些点收敛?我们有下面重要的定理.定理14.1(阿贝耳定理)若幂级数(2)在则对满足不等式
2、的任何,幂级数(2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在时发散,式的任何,幂级数(2)发散.且有界,即存在某正数M,使得则有由于级数收敛,故由优级数判别法知幂级数证(2)当时绝对收敛.下面证明定理的第二部分.设幂级数(2)在时发散,如果存在一个,满足不等式,且使级数收敛,则由定理得第一部分知,幂级数(2)应该在时绝对收敛,与假设矛盾.所以对一切满足不等式幂级数(2)都发散.注由定理14.1知道:幂级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区间的长度,则称R为幂级数的收敛半径.事实上,收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的
3、绝对值的上确界.所以有(i)当时,幂级数(2)仅在处收敛;(ii)(iii)对一切满足不等式的,幂级数(2)都发散;至于,(2)可能收敛也可能发散.因此称为幂级数(2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?定理14.2对于幂级数(2),若则当证根据级数的根式判别法,当时,级数收敛.当时,级数发散.于是(i)当时,由得幂级数(2)收敛半径(ii)所以(iii)注由定理14.2可知,一个幂级数的收敛域等于它的收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.在第十二章§2第二段曾经指出:若则有因此也可用比式判别法来得出幂级数(2)的收敛半径.究
4、竟用比式法还是根式法,可以参考第十二章的相关说明.例1所以其收敛半径,即收敛区间为;而当所以级数于是级数的收敛域为因此幂级数(4)的收敛区间是.但级数(4)当时发散,时收敛,从而得到级数(4)的收敛域是半开区间.照此方法,容易验证级数的收敛半径分别为与.例2设有级数由于例3求幂级数的收敛半径和收敛域.解(i)先求收敛半径.方法1设,幂级数的收敛半径为从而时原级数收敛,原级数发散,所以的收敛半径为下面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题.定理14.3若幂级数(2)的收敛半径为,则在它的收敛区间内任一闭区间上,级数(2)都一致收敛.证任一点x,都有由于级数(
5、2)在点绝对收敛,由优级数判别法得级数(2)在上一致收敛.定理14.4若幂级数(2)的收敛半径为,且在(或)时收敛,则级数(2)在(或)上一致收敛.证设级数(2)在时收敛,对于有递减且一致有界,即故由函数项级数的阿贝耳判别法,级数(2)在上一致收敛.对于一般幂级数(1)的收敛性问题,可仿照上述的办法来确定它的收敛区间和收敛半径.请看例子.例4级数由于所以级数(6)的收敛半径,从而级数(6)的收敛区间为即当x=3时,级数(6)为发散级数于是级数(6)的收敛域为当时,级数(6)为收敛级数二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数的一系列
6、性质.由定理14.4、14.5和13.12立刻可得定理14.5(i)幂级数(2)的和函数是内的连续函数;(ii)若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前,先来确定幂级数(2)在收敛区间内逐项求导与逐项求积后得到的幂级数与的收敛区间.定理14.6幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收敛区间.证这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可以了,因为对(8)逐项求导就得到(2).首先证明幂级数(7)在幂级数(2)收敛区间中每一点都收敛.设,由阿贝耳定理(定理14.1
7、)的证明知道,存在正数M与r(r<1),对一切正整数n,都有于是由级数的比较原则及上述不等式,就推出幂级数(7)在点绝对收敛(当然也是收敛的!).由于为中任一点,这就证明了幂级数(7)在上收敛.其次证明幂级数(7)对一切满足不等式的x都不收敛.如若不然,幂级数(7)在点收敛,则存在幂级数(7)在根据比较原则得幂级数(2)在处绝对收敛.这与所设幂级数(2)的收敛区间为相矛盾.于是幂级数(7)的收敛区间也是定理14.7设幂级数(2)在收敛区间上的和函数为f,若x为内任意一点,则(i)f在x可导,且(ii)f在区间上可积,且证由定理14.7,级数(2),(
8、7),(8)具有相同的收敛半使得
9、x
10、
