论Pascal定理在椭圆中的运用

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1、论Pascal定理在椭圆中的运用而今椭圆作为高考解析几何考察的热点，已经成为了包括笔者在内的苦逼的高三学生绕不开的老大难问题，解析几何巨大的计算量也让本身十分美丽的圆锥曲线们在学生心中留下复杂繁琐的不良印象。本文旨在从另一个角度为同学们打开一扇观察椭圆的门，本身与高考并无直接联系，所以所用引理、方法等如有超出高考许可范围的请见谅。——题记一、是什么？Pascal定理的一个基本形式对于参加过数学竞赛的同学们而言可能并不陌生。基本形式：圆的内接六边形三对边交点共线。PBCAODQEFR如图：ABCDEF为圆内接六边形，PQR为三对边交点，图

2、中显然PQR共线。（前提是PQR存在，当然如果不存在，如正六边形，可以认为是相交在无穷远处，用射影几何的话说：无穷远直线。）推广形式：圆锥曲线内接六边形其三对边的交点共线。例如椭圆与双曲线：作为江苏考生显然对椭圆的性质掌握的相对比双曲线更牢固一点，所以本文以椭圆为切入口为大家介绍Pascal定理的一些相关内容。二、为什么？先证明圆的内接六边形符合。证明：对△KLJ和截线AB、CD、EF分别应用梅涅劳斯定理得：????????????××=1????????????????????????××=1?????????????????????

3、???××=1????????????三式相乘得：????????????????????????????????????××××××××=1????????????????????????????????????根据圆幂定理知：????×????=????×????????×????=????×????????×????=????×????带入可知：????????????××=1????????????根据梅涅劳斯逆定理可知GIH三点共线。证毕。下面证明圆锥曲线内接六边形其三对边的交点共线。（本定理是射影几何的结论，目前笔者没有找到

4、平面几何的证明方式，所以只能将射影几何的证明摘录下来。）证明设S是圆，ABCDEF是圆S的内接六边形。MNP是六边形三对对边的交点。由球极平面射影性质知，可取中心射影把圆所在的平面π映射到某一平面π‘上，使得S变成π‘上的一个圆S’，直线MN在此射影下是平面π上影消线。此时有A’B’//E’D’,B’C’//E’F’；从而∠A’B’C’=∠D’E’F’于是观察于是A’F’//D’C’即直线A’F’与D’C’相交于无穷远点P’所以六边形A’B’C’D’E‘F’的三对对边的交点M’N’P’落在π’上的无穷远直线上故MNP共线。证毕。是不是跟

5、笔者一样看了半天完全蒙蔽？笔者做一个简单的说明，当然根本不是证明，自然很不严格，但是用来理解就可以了。不妨同学们可以剪一个圆片下来，在平行光（如太阳光）的照射下做投影，如果倾斜一个角度，那么你会发现投影下来的就是一个椭圆。同理，如果你将圆、内接六边形以及其对边交点连线倾斜的投影，你就会发现这就是本题的结论：椭圆内接六边形其三对边的交点共线。（双曲线和抛物线这样就没办法说明了）当然这根本谈不上证明，有兴趣的话还是去看射影几何的书吧。三、怎么办？BB了大半天，这玩意有什么用？圆内接六边形的帕斯卡定理的使用频率在竞赛里已然不高了（当然笔者数竞

6、纯属打酱油，做的题目也不多，可能这么说有失偏颇），椭圆的帕斯卡定理有什么用？下面笔者举三个例子来说明。例题1:【已知】如图，A是椭圆长轴顶点，B是椭圆短轴顶点，F为椭圆焦点。P、Q为椭圆上任意两动点。连结PF并延长交椭圆于P’，连结QF并延长交椭圆于Q’，连结PQ、P’Q’并延长交于M。【求证】M恒在椭圆准线上本题解析几何的方法，笔者曾与本校的几位数学老师交流过，无论设点、设线或是参方均不好做，计算量巨大无法完成。根据第二定义的平几方法，结合相似三角形以及焦半径倒数和的性质可行，但是依旧不是很简单，失去了数学应有的简洁美，下面笔者结合熟

7、知结论与Pascal定理给出一个相对好看点的证明。【引理】过焦点的椭圆弦两个端点与长轴顶点的连线延长线交于准线上。这个引理太过经典，可谓熟知结论，无论是用相似结合第二定义，或是解析法都可以证明，当然Pascal定理也能证明，例三再证，此处证明从略。【证明】如图（为了使题目变得清晰这里重1098Q新给点编了号）765F4由题意知ABCDEF在椭圆上且CD、EF交于3D2焦点。要证FD、CE延长线交点p在准线上。1PA64224B681012取椭圆左右端点AB，连结AF、AC、DB、3E4C5EB并延长之交于Q、R两点。6R7根据引理可知Q

8、R均在准线上，则直线QR为椭圆准线。又根据Pascal定理可知，PQR共线。所以P在准线上。证毕。无疑这个证明相对还是比较漂亮的。事实上，在高考中，Pascal定理有时也会作为命题的背景。掌握了Pascal