椭球体易拉罐形状和尺寸的优化设计模型

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1、万方数据第25卷第3期2009年6月大学数学COLLEGEMATHEMATICSV01．25。№．3Jun．2009椭球体易拉罐形状和尺寸的优化设计模型王积建(浙江工贸职业技术学院，浙江温州325003)[摘要]从材料最省、外观最美、放置稳定的角度设计了“椭球体”易拉罐的形状。然后通过建立非线性规划模型I，求出了“椭球体”易托罐的中腰半径、底面半径和高度．然后从手感舒适的角度建立了优化模型Ⅱ，从而确定了两种型号的“椭球体”易掩罐的最优尺寸．[关键词]数学建模；非线性规划；易托罐；优化设计；椭球体[中圈分类号]029[文献标识码]B[文章编号]1672—1454(20

2、09)03—0133—071问题的提出2006年全国大学生数学建模竞赛C题是关于易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，其中第4小题是这样的：“利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，作出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计．”本文就是对该题的解答．2易拉罐形状的想像和设计企业在设计易拉罐的时候通常情况下要综合考虑多个因素。如材料体积最小以降低成本，外观最美以吸引顾客，稳定度高以便于放置，直径较细以方便顾客抓握等等．由于易拉罐的销售范围比较广泛，老少皆宜，所以它的设计要综合考虑多种因素．因此，我们对易托罐外形的设计思想是：使用球体，以满足材料最省的目标(体积一定时，球的表面积最小)

3、；使用“0．618矩形”，以满足外形最美的目标；使用大着地面积、低高度，以满足放置稳定的目标；“椭球体”易拉罐就是在这种思想下产生的．设计思想如图1所示．具体来说，椭球体易拉罐的形状是：(i)上、下底面是等圆。两个圆心的连线垂直于底面．(ii)侧面是旋转椭球面．(iii)上底面的厚度是侧面厚度的3倍，下底面的厚度是侧面厚度的2．5倍．具体尺寸通过建立模型来确定．3符号说明及名词定义一、符号说明(如图2)[收稿日期]2006—12—29，[修改日期]2007—11—06，——一—、L～——一圈l

4、，4～、，／、一二：．1～：：二_?＼j{：j巴一／7、＼、@万方数据1

5、34大学数学第25卷Q：罐装饮料的体积；，．：圆柱体易拉罐的下底面内径；r，：“柱台体”易拉罐的圆台上底面内径；h：易拉罐的总高；h：：“柱台体”易拉罐的圆柱部分的高；h。：“柱台体”易拉罐的圆台部分的高；口：易拉罐的侧面厚度；A。：易拉罐的上底厚度是侧面厚度的倍数；A。：易拉罐的下底厚度是侧面厚度的倍数；V：制造易拉罐的材料体积；口：旋转椭球体的短半轴长；b：旋转椭球体的长半轴长；C：椭球体易拉罐的半高；￡：可口可乐易拉罐的拉环长度．二、有关定义图2定义1把易拉罐底面直径与易拉罐的高的比值叫做易拉罐的美观度，用M表示，即M=鬻鏖馨。由黄金矩形可知，当M一0．618

6、时，易拉罐的美观度最高．通常可设0．6一艿≤M≤0．6+占(O<艿

7、果成年人手掌弧长等于易拉罐侧面周长的一半，则S一0．5．随机选定几个成年人，测量手掌弧长，大约在140---180毫米之间，平均为160毫米．设可口可乐易拉罐的侧面周长为C0，成年人手掌弧长为e，舒适度为S。，由于Co=2zc(r+口)≈206，e≈．160，则S。=暑≈o．77．对于消费者来说，抓握时是感到舒适的，故可假设当s≥o．75时，舒适度高．4有关数据的采集随机抽取几个可口可乐易拉罐，使用游标卡尺和千分尺，对表中所列项目进行测量，每个项目测量十次，取平均值，得到数据如表l(单位：ram)．表1变量rrl^hlh2ZAl儿口平均值32．87528．97122

8、．7812．77110．01460．30．25O．1万方数据第3期王积建：椭球体易拉罐形状和尺寸的优化设计模型1355模型建立与求解为了确定它的尺寸，建立起制材总体积关于旋转椭球体的短半轴(即椭球体易拉罐的中腰半径)口、旋转椭球体的长半轴6、椭球体易拉罐的半高f的嚼数关系式V(12．，b，f)．根据罐内容积为常数(郧饮料体积)和外形美观、稳定性等约束条件，建立一个非线性规划模型，从而可以确定它的最优尺寸．5．1基本假设(i)易掩罐为旋转椭球体．上底为平面，盖子边缘折边体积忽略不计；下底也是平面，下底凸出部分所装的饮料忽略不计．(ii)易拉罐侧面、上底、下底、以及