易拉罐形状和尺寸的最优设计

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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文对销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的雪花啤酒)的易拉罐形状尺寸进行了细致深刻的研究。第一问中通过对易拉罐的罐高、上盖内径、上盖外径、直径(胖)、除圆台的高、厚度(壁)、上盖厚度、圆台的母线的多次测量，最后取平均值，以此作为原始数据进行研究。第二问中，从节省材料的角度考虑，假设易拉罐为圆柱体，在易拉罐体积一定的条件下，寻找用料体积最小的方案，我们采用的是把条件极值转化成一元函数无条件极值，用一元函数求极值方法求解。先考虑壁厚均匀的情况，在此基础上我们考虑壁厚不均匀情况以及上盖折边问题。最后应用第一问中测得的数据，用以上几种情况得到的理论值和实际测量值进

2、行比较，从而进行分析评价。结果显示在壁厚均匀的情况得到的结果与实际有一定差距，在壁厚不均匀的情况得到的结果与实际接近，在考虑折边的情况下，得到的结果是，当2.47k〈1时高与半径的比值接近真实值，当2.74k〉1时高与半径的比值偏离真实值。第三问中，假设易拉罐由两部分组成，上部分是正圆台，下部分是正圆柱体，在这里把材料的厚度看作是均匀的，而且很薄，可忽略不计，所以在体积一定的情况下，找到表面积最小的方案，这里我们运用拉格朗日乘数法及Mathematica软件，得到一组最优解为H=5.5.0546h=2.56319r=1.87827R=4.03432。（H为正圆柱体的高，h为正圆台的高，r为

3、正圆台上底面积的半径，R为正圆柱体底面半径）第四问中，我们从无条件约束到有条件约束，最后对我们的最优设计进行一步步解释并综合Mathematica、matlab软件进行绘制图形。最终得出形状接近现行使用的易拉罐形状才是最合理的设计。关键词易拉罐条件极值拉格朗日乘数法最优设计Mathematica、Matlab软件-15-1、问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生

4、产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可

5、以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。1.名词和符号的解释假设易拉罐是一个圆柱体的时候h为易拉罐高r为底面圆半径b为易拉罐的厚度s为易拉罐的表面积a是待定参数v为罐的体积假设易拉罐上半部分是一个圆台，下半部分是一个正圆柱体的时候h为圆台的高H为圆柱体的高r为圆台上底面的半径R为圆柱体底面半径S为易拉罐的表面积V为易拉罐的体积。-15-3、模型的假

6、设由于本题是由五个问题构成的，第五个问题在此忽略不记，在其余四个问题中第一个问提主要是收集数据1、由一般的方法，令它为一个正圆柱体，在体积为355m不变的前提条件下不考虑其他因素分析这时的直径、半径和高的比值。然后，考虑将系数k加到模型中去再来分析这时的直径、半径和高的比值，此时，模型升华到特殊情况。接下来考虑非正圆柱体的情况2、在第二问中，首先假设易拉罐是一个正圆柱体，第一种情况假设易拉罐的厚度是均匀的，第二种情况中，先假设易拉罐的厚度不相同，在由实际情况知上盖厚度为壁厚的2.74倍，从而假设考虑制造总工艺上必须的折边长度这种情况。3、第三问中假设易拉罐上半部分是一个正圆台，下半部分是一

7、个正圆柱体，易拉罐的壁厚忽略不计。4、前三问中统一假设易拉罐的底部是平的。4、问题分析本题解决的是实际生活中常见的问题，即设计出理想饮料罐：在体积一定的情况下，设计出表面积最小的饮料罐。首先，要实际测量现在市面上买的易拉罐的相关数据，比如高，上盖内径，上盖外径等作为原始数据。接下来进行最优设计，先从简单入手，首先假设易拉罐的形状为正圆柱体，其次，假设易拉罐分成两部分，上半部分为正圆台体，下半部分为正圆柱体，从这两个方面分