易拉罐形状和尺寸的最优设计

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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。在约束条件——易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为370.7ml。在问题二中，首先针对最简化形状——圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过Lingo软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径

2、）并对模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数（顶盖厚度与侧壁厚度比值）和（底面厚度与侧壁厚度比值），并揭示出决定易拉罐形状的关系式：。在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进一步修正起到很好的帮助。在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现易拉罐最优形状依然主要由参数决定。14在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问题二的模

3、型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。一、问题重述（略）二、模型假设与符号说明2.1模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响）。2.2符号说明14：饮料的密度（克每立方厘米）：饮料瓶的净质量：装有355ml饮料的易拉罐质量：装满同样饮料的易拉罐质量14：易拉罐颈部圆台的高度：易拉罐中部的高度：易拉罐上表面的

4、半径：易拉罐中部的半径：易拉罐的容积：单个易拉罐所用材料的体积：饮料瓶中部侧壁的厚度14易拉罐上表面金属片的厚度与中部金属片厚度的比值14易拉罐下表面金属片的厚度与中部金属片厚度的比值三、问题分析主要问题是通过建模研究易拉罐形状和尺寸的最优设计问题，实际上在每个问题中，易拉罐的形状是相对固定的，要研究的是最优尺寸，并用最优尺寸来分析最优形状。所谓最优设计问题也就是在易拉罐容积一定的约束下，使得所用材料最省。问题一要求我们确定验证模型所需的相关数据，首先要确定的是需要哪些数据和怎样精确的获得。对此我们通过认真观察355ml易拉罐实物，认为易拉罐的总高度、总容量、上下底面直径、中部直径、中

5、部高度、颈口圆台高度、上下底面厚度、中部厚度等是需要我们测量的。针对所测数据较小的特点，采用较精密的仪器如游标卡尺，螺旋测微器，物理天平等采用多次测量取平均等方法。问题二将易拉罐看成正圆柱体，考虑到圆柱体的各个面的厚度不同，我们以圆柱体材料的体积作为目标函数，其容积等于定值作为约束条件建立模型一。并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。问题三将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。此时目标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此目标函数表达式变得比较复杂。此时形状由圆柱的高和半径及圆台的高和上表面半径决定，我们以此作为决策变量对模型一稍作修改建立模型二。问题四是

6、在现有的模型基础上，针对易拉罐实物，作出更切合实际的模型。14四、模型的建立与求解4.1问题一关于数据的测量，我们用直接测量的方法来获得高度、直径的数据；针对厚度和容积比较难以直接测量出的实际情况，用间接测量方法获得数据。其中厚度的测量采用将多片叠加测量取平均值的方法，容器的测量中引用质量、密度测量，并找出它们的关系式：据此可测出容积。4.2问题二由测量数据我们可知及圆台侧壁的厚度。则目标函数为关于的二元函数，圆柱体的容积一定。建立模型一如下：代入不同数据，用Lingo软件求解得结果如下：1.901.000.105370.73.449.97634.991.901.300.105370.

7、73.4310.6536.192.201.30.105370.73.2311.337.331.901.300.20370.73.3310.6570.9观察对比发现b14仅决定了所用材料的体积，并不影响易拉罐的形状。由于目标函数较复杂，无法验证出之间的关系。考虑到远小于，故消去含项，对模型简化得：用拉格朗日乘数法求解得：根据改进模型，Lingo求解得到验证数据如下：理论值1.801.563.2711.00.29735.59测量值1.801.563