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1、直线最值问题探究上海市育才中学高二数学组龚新平问题情景:静安公园内的一个十字路口有一块矩形土地,地内有一个凉亭C,凉亭到两条十字路的距离分别为10米、20米,为美化公园,设计师决定过凉亭C设计一条直道AB,在凉亭一侧挖一个图示的荷花池.试问:如何设计才能使荷花池的面积最大?ABC荷花池数学解决:过定点P(1,2)任作直线L分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点.求AOB面积最小时直线L的方程.xyOAP(1,2)LB解:设直线L点斜式方程为:过定点P(1,2)任作直线L分别交x轴正半轴、y轴正
2、半轴于A、B两点.求AOB面积最小时直线L的方程.xyOP(1,2)L当且仅当时等号成立。直线L的点斜式方程为:解:设直线L的截距式方程为:当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为:xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)L过定点P(1,2)任作直线L分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点.求AOB面积最小时直线L的方程.解:设直线L的截距式方程为:xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)L过定点P(1,2)任作直线L分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点.求AOB面积最小时直线
3、L的方程.当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为:解:设此时有,当且仅当直线L的点斜式方程为:xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)LMN过定点P(1,2)任作直线L分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A、B两点.求AOB面积最小时直线L的方程.反思:(是否有几何解释?)为什么当点P是AB中点时,面积最小呢?A’ABB’POABB’POA’探究一:有没有最小值呢?解:设当且仅当时等号成立。此时点斜式方程为:xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)LMN探究一:有没有最小值呢?当且仅当时等号
4、成立。此时直线L的截距式方程为:xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)L解:设直线L的截距式方程为:小结:求最值的一些方法:基本不等式法;多元化一元法;三角法;向量法;......探究二: 长度有没有最小值呢?xyOP(1,2)L探究二: 长度有没有最小值呢?解:设直线L点斜式方程为:当且仅当时等号成立。此时直线L的点斜式方程为:xyOP(1,2)L解:设直线L的截距式方程为:当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为:xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)L探究二:
5、 长度有没有最小值呢?解:xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)L设此时有,当且仅当时等号成立。此时直线L的方程为:探究二: 长度有没有最小值呢?总结:1.了解“多题一解”策略是一种超越题海战术,减轻学业负担的行之有效的方法;2.了解“数形结合”是一种重要的数学思想方法;3.了解“一题多解”策略是一种学好数学的有效方法,注重发散性思维的应用;探究三:周长有没有最小值呢?xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)L探究三:周长有没有最小值呢?解:设此时有,xyOA(a,0)B(o,b
6、)P(1,2)L探究四: 长度有没有最小值呢?xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)L探究四: 长度有没有最小值呢?解:当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为:xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)L