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1、直线最值问题探究上海市育才中学高二数学组龚新平问题情景：静安公园内的一个十字路口有一块矩形土地，地内有一个凉亭C，凉亭到两条十字路的距离分别为10米、20米，为美化公园，设计师决定过凉亭C设计一条直道AB，在凉亭一侧挖一个图示的荷花池．试问：如何设计才能使荷花池的面积最大？ABC荷花池数学解决：过定点Ｐ（1，2）任作直线Ｌ分别交x轴正半轴、y轴正半轴于Ａ、Ｂ两点．求AOB面积最小时直线Ｌ的方程．xyOAP(1,2)ＬＢ解：设直线L点斜式方程为：过定点Ｐ（1，2）任作直线Ｌ分别交x轴正半轴、y轴正
2、半轴于Ａ、Ｂ两点．求AOB面积最小时直线Ｌ的方程．xyOP(1,2)Ｌ当且仅当时等号成立。直线L的点斜式方程为：解：设直线L的截距式方程为：当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为：xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)Ｌ过定点Ｐ（1，2）任作直线Ｌ分别交x轴正半轴、y轴正半轴于Ａ、Ｂ两点．求AOB面积最小时直线Ｌ的方程．解：设直线L的截距式方程为：xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)Ｌ过定点Ｐ（1，2）任作直线Ｌ分别交x轴正半轴、y轴正半轴于Ａ、Ｂ两点．求AOB面积最小时直线
3、Ｌ的方程．当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为：解：设此时有，当且仅当直线L的点斜式方程为：xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)ＬＭＮ过定点Ｐ（1，2）任作直线Ｌ分别交x轴正半轴、y轴正半轴于Ａ、Ｂ两点．求AOB面积最小时直线Ｌ的方程．反思：（是否有几何解释？）为什么当点Ｐ是ＡＢ中点时，面积最小呢？A’ABB’POABB’POA’探究一：有没有最小值呢？解：设当且仅当时等号成立。此时点斜式方程为：xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)ＬＭＮ探究一：有没有最小值呢？当且仅当时等号
4、成立。此时直线L的截距式方程为：xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)Ｌ解：设直线L的截距式方程为：小结：求最值的一些方法：基本不等式法；多元化一元法；三角法；向量法；．．．．．．探究二： 长度有没有最小值呢？xyOP(1,2)Ｌ探究二： 长度有没有最小值呢？解：设直线L点斜式方程为：当且仅当时等号成立。此时直线L的点斜式方程为：xyOP(1,2)Ｌ解：设直线L的截距式方程为：当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为：xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)Ｌ探究二：
5、 长度有没有最小值呢？解：xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)Ｌ设此时有，当且仅当时等号成立。此时直线L的方程为：探究二： 长度有没有最小值呢？总结：１．了解“多题一解”策略是一种超越题海战术，减轻学业负担的行之有效的方法；２．了解“数形结合”是一种重要的数学思想方法；３．了解“一题多解”策略是一种学好数学的有效方法，注重发散性思维的应用；探究三：周长有没有最小值呢？xyOA(a,0)B(o,b)P(1,2)Ｌ探究三：周长有没有最小值呢？解：设此时有，xyOA(a,0)B(o,b
6、)P(1,2)Ｌ探究四： 长度有没有最小值呢？xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)Ｌ探究四： 长度有没有最小值呢？解：当且仅当时等号成立。此时直线L的截距式方程为：xyOA(a,0)B(0,b)P(1,2)Ｌ
