矩阵的相似变换和特征值1

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1、第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量(2学时)一.特征值、特征向量的定义和计算§5.2相似矩阵(2学时)§5.3实对称矩阵的相似对角化(2学时)二.特征值、特征向量的性质初等变换相抵等价类的不变量矩阵的秩相抵标准形不变量的特例是1.定义=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量§5.1方阵的特征值和特征向量一.特征值、特征向量的定义和计算A数注1.几何意义A33y=A=//y=A注2.否则,=,

2、R,A==但是可以=0,此时,A=0=核第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=(I–A)=0

3、I–A

4、=0特征方程=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式特征值特征向量对每个,求(I–A)x=0的基础解系1,2,,t对应于的所有特征向量为k11+k22++ktt,k1,,kt不全为0.2.计算先解

5、I–A

6、=0,求出所有特征值,第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量解:

7、I–A

8、

9、=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–I–A)x=的基础解系:p1=[1,0,1]T.对应于1=–1的特征向量为k1p1(0k1R).(2I–A)x=的基础解系:p2=[0,1,–1]T,p3=[1,0,4]T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例1.求的特征值和特征向量.解:

10、I–A

11、=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2I–A)x=0的基础解系:p1=[0,0,1]T.对应于1=2的特征向量为k1p

12、1(0k1R).对于2=3=1,求得(I–A)x=0的基础解系:p2=[–1,–2,1]T.对应于2=3=1的特征向量为k2p2(0k2R).例2.求的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量例3.设1,2为方阵A的两个不同的特征值,p1,p2依次为对应于1,2的特征向量,证明p1,p2线性无关.证明:若k1p1+k2p2=,(1)这就证明了p1,p2是线性无关的.则A(k1p1+k2p2)=k1Ap1+k2Ap2=k11p1+k22p2=(2)Ap1=1p1,Ap2=2p2

13、,2(1)(2),得(21)k1p1=21,p1k1=0k2p2=p2k2=0对应于不同特征值的特征向量线性无关.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件定理5.4.1,2,…,s不同值{11,…,k1,12,…,k2,…,1s,…,ks}12s命题.11,…,sl.i.1,…,rl.i.2A{1,…,s,1,…,r}线性无关l.i.l.i.l.i.线性无关命题.对应于不同特征值的特征向量线性无关.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和

14、特征向量二.特征值、特征向量的性质定理5.1.设1,…,n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=[aij]的n个特征值,即

15、I–A

16、=(–1)(–2)…(–n).则i=trA=aiini=1ni=1i=detA=

17、A

18、ni=1证明：

19、I–A

20、=(–1)(–2)…(–n)第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量定理5.1.设1,…,n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=[aij]的n个特征值,则i=trA=aiini=1ni=1i=detA=

21、A

22、ni=1推论1：方阵A可逆

23、A的特征值均不为0.证明：A的特征值均不为0,则i0ni=1

24、A

25、=所以A可逆.必要性:设是A的任一个特征值,则,s.t.,若=0,A==,因为A可逆,A1A==,产生矛盾.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量定理5.1.设1,…,n(实数或复数)是n阶方阵A=[aij]的n个特征值,则i=trA=aii，ni=1ni=1i=

26、A

27、ni=1推论1：方阵A可逆A的特征值均不为0.证明：设,s.t.,A=,A1A=A1推论2：方阵A可逆,是A的特征值,则

28、1/是A1的特征值,

29、A

30、/是A*的特征值.因为A可逆,A1=1/,则1/是A1的特征值.AA*=

31、