矩阵的相似变换和特征值

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1、返回主界面第五章矩阵的相似变换和特征值线性代数与空间解析几何电子教案网络版说明:由于PowerPoint软件版本差异,在您的电脑上浏览本电子课件可能有些内容出现会出现异常.——课件作者：王小才§5.1方阵的特征值和特征向量§5.2相似矩阵§5.3实对称矩阵的相似对角化第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量一.特征值,特征向量的定义和计算1.设A是n阶方阵,为数,为n维非零向量.若A=,则称为A的特征值,称为A的对应于的特征向量.2.由A=得齐次线性方程组(I–A)=,它有非零解系数行列式

2、I–A

3、=0,这个关于的一元n次方程,称为A的特

4、征方程,

5、I–A

6、称为A的特征多项式.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量例1.求的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2I–A)x=即第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4I–A)x=即例1.求的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量解:

7、I–A

8、=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求

9、得(2I–A)x=的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(I–A)x=的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量解:

10、I–A

11、=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–I–A)x=的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).(2I–A)x=的基础解系:p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.

12、对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向量.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量例4.设为方阵A的特征值,证明2为A2的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A2)x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x,所以2为A2的特征值.例5.设为方阵A的特征值,证明()=22–3+4.为(A)=2A2–3A+4I的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A)x=(2A2–3A+4I)x=2(A2)x–3Ax+4x=22x–3x+

13、4x=(22–3+4)x=()x,所以f()为f(A)的特征值.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量二.特征值,特征向量的性质定理5.1.设1,…,n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=[aij]的n个特征值,即

14、I–A

15、=(–1)(–2)…(–n).则i=trA=aiini=1ni=1i=detA=

16、A

17、ni=1第五章矩阵的相似变换和特征值§5.1方阵的特征值和特征向量定理5.2.设是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,则f()是方阵f(A)的一个特征值.推论.若f是多项式,A是一个方阵,使f(A)=O(这时称f为A的一

18、个零化多项式),则A的任一特征值必满足f()=0.注:A的零化多项式的根未必都是A的特征值.例如f(x)=x21,A1=1001,A2=1001,A3=0110.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵§5.2相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为A~B.P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.易见,矩阵间的相似关系满足反身性:A~A;对称性:A~BB~A;传递性:A~B,B~CA~C.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.且A与B相似A与B相抵.但反之未必.第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵命题

19、:设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+A1p1AP+a0P1IP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0I=P1(anAn+…+a1A+a0I)P=anBn+…+a1B+a0I=f(B).第五章矩阵的相似变换和特征值§5.2相似矩阵定理5.5.设n阶方阵A与B相似,则有相同的特征