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1、188韩秀芹求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧:类似地可证得·(1)((士)d/),)二)dX,、(。一:(f卫·(2,j(了)d?‘、。):(艾{!忐一(其中f(二)>0)求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧韩秀芹(夭津大学)用分离变量法求解数理方程,须先将边界条件齐次化。即将间题的解分解为两个,其中一个满足非齐次边界条件,另一个满是齐次边界条件,再利用线性方程的叠加原理,则可得到原。具体地讲·间题的解就是要构造,。。一个函数。文〔1〕讨论了将边界条件齐次化的一般方法。不是唯使它满足非齐次
2、边界条件但显然这样的,,。一的而我们只须找到其中一个即可那么选择哪一个较好呢?这是一个技巧性很强的工作笔者认为其一般,,。,。原则有两条其一是本身简单其二是齐次化以后的方程简单按着这一想法本文计论三类边界条件齐次化的一些技巧。、考虑定解问题““护一“2孑二下火j.1)0<艺0~J岸优一x任Pt>O(1)产(t)I一。二二州。x尸}了巴沪(工),2‘,劝<<,。下面以l可题(l)为例讨论边界条件齐次化的方法1.第一类边界条件。,,一:‘}~产,(t)了一产。(t)(2)一川一,,,我们的目
3、的是构造一个函数w(、,)使其满足边界条件(2)并论,‘(了,去)二vj,Z:刀(二,z)()十。,t。x,,。由(x)满足齐次边界条件它表示位移函数袱t)自基本一起始函数w(xl)算起的偏移满足(2)的二,,,。(二t)不是唯一的通常可选一个简单函数比如关于二的线性函数二,令w(￡)一A(t)x+B(艺)其中A(户,召(l)为待定可微。函数。群,‘,二一,产2t),由w{一二()w}~(,。,z,‘:,,、可得;()一(),()一〔,()一。():令x·‘,;、“。21故W‘一)+〔“)一产“,
4、二令·。,2‘,‘,,,:。(,‘)的构如图曲线二行。是,时刻移函数斌二‘)随,变化的图象造可以给出一个几何解释二二,它在边界一0.~l满足(2)即曲线以A,,,。(,:。产》B以产)为端点按上述方法选取的.,,,,,,、(二1)即过点A(o尸,)B(l产。)的直线乃(了农户,,.,段位移:‘:二t)与二户的函数仕户是试试,,,和显然v(二t)可看成诚x劝的直线AB为·,.‘0,起始函数的偏移刁在,,,按着这个分析选w行t)对第一类边··,.界条件即过点()产,).(l)脚做一条直线,.二,用直线
5、的两点式则可写出直线方程这就是要找的*(,)、..No4Vo卫9工科数学DEC1993JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY1891.边界条件。产1,二一‘:,ul一一(t)价}二产(t)(3)。二。一灼(t),。,一2,.或卜{一产(t)(4〕,I,,,,,。:‘先考虑(3)接着的方法要选择满足(3)的函数w(x)只须要取过点(。两)且斜率为()的直线即可,由点斜式可写出方程z,￡)一1zx:之w(产()+产(),,同样的方法对边界条件(4)可求出w(、t)￡,z:t
6、:z了w()~产()十产()(一l)1.第二类边界条件.二二二_。产,t,:‘二,_,。t),}=()}~产((5),,,,,。,要选w(xl)使其满足(5)此时由于在端点斜率不等显然直线已不能满足条件为简单起见选一个二次,二产1,二,:,函数使它在一。切线斜率为在一l切线斜率为产即设w(x,艺)xZx一A+B+C、。,二一。:t,B=产1￡由}=产()可推出()声t:z1t:。,,一产。,A一()一产()由}一(l)可得2Z2t:之产()一产()咬二,zJZ产1之x故w)=+()+C(6)2l。
7、,,。,这里c是任意常数(6)表示一族二一。产1x一l切线产:c一O平行的抛物线在切线斜率为在斜率为当取时最简单,这样就得到工,‘,一些卫+w(示宁粼IV.第三类边界条件r二,。1八一h川二产(t)h>O(7)八:+二一,:zh产}=产()此时,可令:刃之,z)~(al之l)产1ia:x:2‘,0￡l,0t,(+b()+(+b)产()<((<+co(8),使其满足边界条件(7)可得a;l1了a:Z2t产l乙)(一hb)产()+(一hb)产()=()丈ala,l十b,产,t)+a:a:l十bZ。tt
8、仁+h<)」(〔+h()」产()=户(),,要使上式对V‘任(O+~)成立必须有al一“阮一1{““Z一“b一。J(1+人‘)a,,}+”b一。1+hl)“:ZL(+hb一1a、,“:,T,。.这是关于bb的线性方程组其系数行列式一h一h““O△~一h(2+hl)护1十用h01+hlh,可求故方程组有唯一解出11+hl一万下丽(2十hl)h1’1b:一2+反(2+hl)h190韩秀芹求解数理方程中边界条件齐次化的某些技巧)即可得到、.代入(8(石户,,以上讨论了三类边界条件的齐次化
