分离变量法(齐次方程齐次边界条件

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1、第二章分离变量法§2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布§2.2、一般格式、固有值问题§2.3、非齐次问、非齐次方程的解法、非齐次边界条件的处理§2.4、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。令代

2、入方程：令代入边界条件一求两端固定的弦自由振动的规律§2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况：得常系数微分方程的通解：附录:▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。2解的性质x=x0时：其中：这表示在任意一点处都作简谐振动。t=t0

3、时：这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅随不同的时间而不同。振幅:频率:初位相:波节:波腹:驻波法于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(nπa)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。中最小的一个称为基频，相应的称为基波．称为谐频，相应的称为谐波。基波的作用往往最显著．第一步:分离变量。令适合方程和边界条件，从而定出所适合的固有值问题，以及适合的常微分方

4、程.第二步:解固有值问题，的分离变量形状的解。求出全部特征值和特征函数.并求出相应的的表达式.第三步:叠加定系数。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数.综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步：例(1):求下列定解问题解：解：例(2)求下列定解问题初始条件例(3)磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题解:设并代入方程得用遍除各项即得关于T的方程关于X的方程分离为(iii)(i)λ<0(ii)λ＝0无意义(C

5、0为任意常数）先确定积分常数否则方程无解，固有函数把λ＝0与λ>0情况的固有值、固有函数合在一起：固有值只有(C1为任意常数）傅里叶余弦级数的基本函数族当λ0时，将本征值代入T的方程：其解其中A0、B0、An、Bn均为独立的任意常数。代回傅里叶余弦级数的基本函数族由初始条件所有本征振动的叠加——一般解系数A0、B0、An、Bn由初始条件确定得把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数,得定解问题答案*例(4)求下列定解问题令带入方程：解：二有限长杆上的热传导令带入方程：解：例(5)研究细杆导热问题,初始

6、时刻杆的一端温度为零度,另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。解杆上温度满足下列泛定方程和定解条件泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法。设代入方程和边界条件得关于T的方程本征值问题仅讨论的情况：(i)λ<0或＝0：无意义固有值只有相应的固有函数关于T的方程由初始条件确定系数可以看出:t<0时，随着t的增大，级数发散，无意义。t>0时，随着t的增大级数解收敛得很快,t越大,级数收敛越快。t→∞时，u(x,t)→0，即细杆内的温度从开始时的

7、分布趋向于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平衡态趋向于热力学平衡态。答案例(6)一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。解：分离变量流程图常用本征方程齐次边界条件拉普拉斯方程矩形区域问题圆形区域问题三稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题解：拉普拉斯方程矩形区域定解问题未知函数分离泛定方程分离X边界条件分离分离解叠加Y边界条件要求2圆域内的拉普拉斯问题例9圆柱体稳态温度分布解：(1)设欧拉方程(2)解固

8、有值问题1）2）3）欧拉方程令级数解：常用本征方程周期边界条件拉普拉斯方程圆形区域定解问题未知函数分离泛定方程分离自然边界条件分离结果固有值问题求解固有值固有函数拉普拉斯方程圆形区域径向方程求解分离解叠加边界条件要求例10求下列定解问题解：欧拉方程令其它为零例12求下列定解问题解：欧拉方程其他为零§2.2、一般格式、固有值问题2.2.1一般格式和问题第一步，分离变量。第二步，解固有值问题，得分离变量