华科大数理方程课件――非齐次方程的求解问题(2014).ppt

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1、几种常见的固有函数系的形式(1)(2)(3)(4)以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。圆域上的拉普拉斯方程对应的固有函数系为(5)小结11.卷积预备知识：卷积与卷积定理（关于Laplace变换的）P224复变函数2.卷积定理定理记（满足交换律、结合律、分配律）2.4非齐次方程的求解问题本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种常用的解法：固有函数法。下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，来说明这种解法的要点与解题步骤。一、有界弦的强迫振动问题二、有限长杆的热传导问题(有热源)三、泊松方程(非齐次的拉普

2、拉斯方程)3一、有界弦的强迫振动问题(54)首先，我们考察下列问题我们可以设问题(54)的解为其中表示仅由强迫力引起的弦振动的位移；而表示仅由初始状态引起的弦振动的位移；(54)(55)(56)和分别满足如下定解问题：分离变量法5为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：(47)(48)(46)上述问题，可采用类似于线性非齐次常微分方程所用的常数变易法，并保持这样的设想：即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定。6为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题

3、：(47)(48)(46)由2.1节的知识可知，满足(46)相应的齐次方程且同时满足齐次边界条件(47)的固有函数系为7(47)(48)(46)第一步：设所求的解为其中是关于的待定函数。第二步：将方程中的自由项也按上述固有函数系展成傅里叶级数：(49)(50)8(47)(48)(46)(50)其中(51)(49)把(49)-(50)代入方程(46)中可得9由此得(47)(48)(46)在表达式(49)中利用初值条件(48)得(49)10(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值问题(52)应用常微分方程中的常数变易法或拉氏变换法，

4、得问题(52)的解为(53)1112补充用拉普拉斯变换求解记对方程两边作解拉普拉斯变换得因此对上式作拉普拉斯逆变换得13(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值问题(52)应用常微分方程中的常数变易法或拉氏变换法，得问题(52)的解为(53)(47)(48)(46)(53)(49)将代入即得定解问题(46)-(48)的解。14由于与方程相应的齐次方程且同时满足齐次第二类边界条件的固有函数系为例1求解下列问题其中均是常数。解首先，设所求的解为其中是关于的待定函数。15例1求解下列问题其中均是常数。解将代入原方程化简得比较等式两边系

5、数即得16中利用初值条件得例1求解下列问题其中均是常数。解在17于是，我们得到两组常微分方程的初值问题利用通解公式有首先当时，利用条件可得18于是，我们得到两组常微分方程的初值问题(53)利用公式当时，19由于20将代入即得所求解为21二、有限长杆的导热问题(有热源)(70)首先，我们考察下列问题我们可以设问题(70)的解为其中表示仅由内部热源引起的温度函数；而表示仅由初始温度引起的温度函数；22(70)和分别满足如下定解问题：(*)(**)分离变量法23为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初始条件的情形，(58)(59)(57)我们依然用

6、固有函数法来求这个定解问题的解。以两端温度保持0度为例：由2.2节可知，满足(57)相应的齐次方程且同时24满足齐次第一类边界条件(58)的固有函数系为24(58)(59)(57)第一步：将定解问题的解关于第二步：将方程中的自由项也按上述固有函数系展成傅里叶级数：(60)(61)按固有函数系展开傅里叶级数25(61)其中(62)(60)把(60)-(61)代入方程(57)中可得(58)(59)(57)26由此得在表达式(60)中利用初值条件(59)得(60)(58)(59)(57)27于是得如下常微分方程的初值问题(63)应用一阶线性微分

7、方程的通解公式或拉氏变换法，得问题(52)的解为(64)(58)(59)(57)2829补充用拉普拉斯变换求解记对方程两边作解拉普拉斯变换得因此对上式作拉普拉斯逆变换得30于是得如下常微分方程的初值问题(63)应用一阶线性微分方程的通解公式或拉氏变换法，得问题(63)的解为(64)(58)(59)(57)(60)将代入即得定解问题(57)-(59)的解。值得指出的是：对于有热源的有限长杆的热传导方程(57)和零初值条件(59),公式(64)是通用的。(64)(58)(59)(57)31由于与方程相应的齐次方程且同时满足齐次边界条件的固有函

8、数系为解首先，设所求的解为例2求解下列问题其中为常数。(65)(66)32例2求解下列问题其中为常数。(65)解再将按上述固有函数系展成傅里叶级数(67)其中(66)33把(66)-(67)代