非齐次方程的求解问题课件.ppt

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1、几种常见的固有函数系的形式(1)(2)(3)(4)以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。圆域上的拉普拉斯方程对应的固有函数系为(5)小结12.4非齐次方程的求解问题本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种常用的解法：固有函数法。下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，来说明这种解法的要点与解题步骤。一、有界弦的强迫振动问题二、有限长杆的热传导问题(有热源)三、泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)2一、有界弦的强迫振动问题(54)首先，我们考察下列问题此时，弦的振动是由两部分干扰引起的：其

2、一是外界的强迫力，其二是弦所处的初始状态。由物理意义知，这种振动可以看做是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动之合成。3(54)于是，我们可以设问题(54)的解为其中表示仅由强迫力引起的弦振动的位移；而表示仅由初始状态引起的弦振动的位移；和分别满足如下定解问题：4(54)(55)(56)和分别满足如下定解问题：5为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：(47)(48)(46)上述问题，可采用类似于线性非齐次常微分方程所用的参数变易法，并保持这样的设想：即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠

3、加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定。6为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：(47)(48)(46)(14)由2.1节的知识可知，与(46)相应的齐次方程满足齐次边界条件(47)的固有函数满足7为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件的强迫振动问题：(47)(48)(46)因此可知与(46)相应的齐次方程且同时满足齐次边界条件(47)的固有函数系为8(47)(48)(46)第一步：设所求的解为其中是关于的待定函数。第二步：将方程中的自由项也按上述固有函数系展成傅里叶级数：(49)

4、(50)9(47)(48)(46)(50)其中(51)(49)把(49)-(50)代入方程(46)中可得10由此得(47)(48)(46)在表达式(49)中利用初值条件(48)得(49)11(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值问题(52)应用常微分方程中的参数变易法或拉氏变换法，得问题(52)的解为(53)1213应用常数变易法求解二阶线性非齐次常微分方程(*)步骤：1.先写出出方程(*)所对应的齐次方程的通解形式此时为任意常数。2.假设非齐次方程(*)的通解形式为(**)将(**)式代入非齐次方程(*)

5、可得满足14补充用拉普拉斯变换求解记对方程两边作解拉普拉斯变换得因此对上式作拉普拉斯逆变换得15(47)(48)(46)于是得如下常微分方程的初值问题(52)应用常微分方程中的参数变易法或拉氏变换法，得问题(52)的解为(53)(47)(48)(46)(53)(49)将代入即得定解问题(46)-(48)的解。16例1求解下列问题其中均是常数。解前几节的知识可知，与原方程相应的齐次满足齐次第二类边界条件的固有函数满足方程17因此可知与方程相应的齐次方程且同时满足齐次第二类边界条件的固有函数系为例1求解下列问题其中均是常数

6、。解首先，设所求的解为其中是关于的待定函数。18例1求解下列问题其中均是常数。解将代入原方程化简得比较等式两边系数即得19中利用初值条件得例1求解下列问题其中均是常数。解在20于是，我们得到两组常微分方程的初值问题利用通解公式有首先当时，利用条件可得21于是，我们得到两组常微分方程的初值问题(53)利用公式当时，22由于23将代入即得所求解为24二、有限长杆的导热问题(有热源)(70)首先，我们考察下列问题此时，导热现象是由两部分引起的：其一是内部有热源，其二是长杆的初始温度。那么这种导热现象可以看做是仅由内部热源引起

7、的导热和仅由初始温度引起的导热之合成。25于是，我们可以设问题(70)的解为其中表示仅由内部热源引起的温度函数；而表示仅由初始温度引起的温度函数；和分别满足如下定解问题：(70)26(70)和分别满足如下定解问题：(*)(**)27为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初始条件的情形，(58)(59)(57)我们依然用固有函数法来求这个定解问题的解。以两端温度保持0度为例：由2.2节的知识可知，与(57)相应的齐次方程满足齐次第一类边界条件(58)的固有函数满足28因此可知与(57)相应的齐次方程且同时满足齐次第一类边界条

8、件(58)的固有函数系为为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初始条件的情形，(58)(59)(57)以两端温度保持0度为例：29(58)(59)(57)第一步：将定解问题的解关于第二步：将方程中的自由项也按上述固有函数系展成傅里叶级数：(60)(61)按固有函数系展开傅里叶级数30(61)其中(62)(60)把(60)-(61)代入