培优解几1118

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1、高二数学文科培优材料（解析几何部分）　解析几何中的探索性问题一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得　　①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，．　　　②又．　　　　③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有

2、符合题意的常数．二、是否存在这样的点例2.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为（I）求，的值；（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。8高二数学文科培优材料（解析几何部分）解：（Ⅰ）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为，故，，由，得，=（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由（Ⅰ）知椭圆C的方程为+=6.设(ⅰ)　假设上存在点P，且有成立，则，，整理

3、得故①将②于是,=,，代入①解得，，此时于是=，即因此，当时，，；当时，，。（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.8高二数学文科培优材料（解析几何部分）例3.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆的方程；(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x

4、-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=4①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得，m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得，故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使

5、得该点到右焦点F的距离等于的长。例4已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）设当的斜率为1时，其方程为到的距离为故，.由得，=（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由（Ⅰ）知C的方程为+=6.设8高二数学文科培优材料（解析几何部分）(ⅰ)　C成立的充要条件是，且整理得,将w.w.w.k.s.5.u.c.

6、o.m于是,=,代入①解得，，此时于是=，即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因此，当时，，；当时，，。（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为三、是否存在这样的直线例5.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解　方法一　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其

7、左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.8高二数学文科培优材料（解析几何部分）另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．方法二　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且有解得b2＝12，b2＝－3(舍去

8、)．从而a2＝16.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)同方法一．例5.（2007湖北理19）．（本小题满分12分）NOACByx在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？