解几中数学思想

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1、“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．PMNO1O2Oyx

2、思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：,设P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程　　解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，即综上所述，所求轨迹方程为：（或）．2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能

3、进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值。4解(I)（1）当时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程.（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)所以A

4、与G关于折痕所在的直线对称，有故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为，折痕所在的直线方程，即由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，；时（II）(1)当时，折痕的长为2;(1)当时,折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为令解得∴所以折痕的长度的最大值2。3.参数思想参数法解题的关键是恰到好处地利用或引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。例3．已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1(1)求证无论a为何值，直线总过第一象限．4(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围．解：(1)将方程整理得为

5、a(3x-y)+(-x+2y-1)=O对任意实数a，所给直线恒过直线3x-y=O与x-2y+1=0的交点(，)，∴直线系恒过第一象限内的定点(，)；(2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=x-，不过第二象限的充要条件为或a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限．4.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法．例4．条件：(1)截轴弦长为2.(2)被轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1.在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线距离最小时圆的方程.解：设所求圆的方程为：，则由截轴的弦长为2得由被轴分

6、成两段圆弦，其弧长之比为，∴圆心到直线的距离即当且仅当即或时，取“=”∴，此时所以，所求圆的方程为或5.函数、方程、不等式思想4函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.例5.两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P、Q旋转并互相保持平行．(1)求

7、d的变化范围．(2)用d表示这两条直线的斜率．(3)当d取最大值时，求这两条直线的方程．解当过P、Q的两条直线的斜率为O时，d=5；当这两直线斜率不存在，即与x轴垂直时，d=3．设l1：y+2=k(x+2)；l2：y-3=k(x-1)(1)由平行线间的距离公式得d=即(d2-9)k2+30k+d2-25=O……①由△=900-4(d2-9)(d2-25)≥O，得O

8、种题型没讲，高考时做不出，学生怕少做一