《曲面及其方程》PPT课件(I)

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1、第三节曲面及其方程第六章四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面五、小结与思考练习9/15/20211一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.9/15/20212如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一

2、曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义19/15/20213故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.例1求动点到定点9/15/20214解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.（课本例3）表示怎样半径为的球面.球心为例2研究方程9/15/20215定义2一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋

3、转轴,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.例如:9/15/20216故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面上曲线C:则有则有该点转到建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:9/15/20217求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？9/15/20218的圆锥面方程.（课本例4）解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例3试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为9/15/20219分别绕x轴和z轴旋转一周所生

4、成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例4求坐标面xoz上的双曲线(旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）（习题6-35）9/15/202110三、柱面引例分析方程表示怎样的坐标也满足方程解:在xoy面上表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面?9/15/202111平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的

5、椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做母线.定义39/15/202112柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3:H(z,x)=0.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1:F(x,y)=0.母线准线yoz面上的曲线l2:G(y,z)=0.母线一般地,在三维空间9/15/202113四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系

6、数不全为0)9/15/202114椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P202)1.椭圆锥面9/15/202115(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆2.椭球面9/15/202116与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:为正数)9/15/2021173.抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b时为绕z轴的旋转抛物面.xyzxyz9/15/202118(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行

7、于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:4.双曲面9/15/202119虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;相交直线:双曲线:9/15/202120双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面:系数二项正,一项为负.双叶双曲面:系数一项正,二项负.图形(2)双叶双曲面（a、b、c是正数）9/15/202121内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.9/15/202122三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双

8、曲面椭圆锥