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1、第三章导数3.1.1曲线的切线[问题1]同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力。想想看，为什么？y/mx/moxBxCyByCABC登山路线[情境1]下图是一段登山路线。[问题2]“陡峭”是生活用语，如何量化线段BC的陡峭程度呢？yC-yBxC-xB问题1从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日，哪一段时间气温变化得更“大”？问题3如何量化温度变化的“快”与“慢”？问题2从3月18日到4月18日和从4月18日到4月20日，哪一段时间气温变化得更“快”？时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃
2、18.6℃33.4℃[情境2]某市2008年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210以3月18日作为第一天，温度随时间变化的图象如左图问题2’问题3’图中哪一段图像更“陡峭”？如何量化图像的“陡峭”程度？平均变化率的定义：一般地，函数 在区间上的平均变化率为说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.平均变化率曲线陡峭程度视觉化数量化作用:(2)平均变化率等于函数值的增量与自变量的增量之比
3、，亦即：[问题4]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为在区间[1，x1]上的平均变化率为o134xyACy=f(x)x1f(x1)f(1)f(34)一.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点，PQ为曲线C的割线，PM//x轴,QM//y轴，β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T如何求曲线上一点的切线?切线(1)概念:曲
4、线的割线和切线结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PT就是P点处的切线.Qoxyy=f(x)(2)如何求割线的斜率?曲线在点P处的斜率例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：（1）求⊿y；求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程.例2:已知,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.利用割线求切线练习1：求曲线在点处的倾斜角练习2:如图,已知曲线,求:(1)点P处
5、的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点=一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为二、瞬时速度：平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；例3:物体作自由落体运动,运动方程为：g=10m/s2，位移单位是m，时间单位是s，.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2
6、.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.解:(1)将Δt=0.1代入上式，得:(2)将Δt=0.01代入上式，得:即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔Δt逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.求瞬时速度一般可以分为三步：（1）求⊿s；（1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线的定义；小结：能求曲线在点P处切线的斜率及方程；（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度能求某时刻的瞬时速度备用:已知
7、曲线上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.练习:求曲线上一点P(1,-1)处的切线方程.答案:y=3x-4.
