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时间:2019-07-04
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1、实用标准基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)和a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+,当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论,并能应用它们证明一些不等式. (2)通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生运用综合法进行推理的能力. 教学过程 一、引入新课 师:上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么? 生:求差比较法,即 师:由于不等式复杂多样,仅有比较法是不够的.我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法.
2、 如果a、b∈R,那么(a-b)2属于什么数集?为什么? 生:当a≠b时,(a-b)2>0,当a=b时,(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0.即(a-b)2∈ R+∪{0}. 师:下面我们根据(a-b)2∈R+∪{0}这一性质,来推导一些重要的不等式,同时学习一些证明不等式的方法.文档大全实用标准 二、推导公式 1.奠基 师:如果a、b∈R,那么有(a-b)2≥0.① 把①左边展开,得a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab.② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1,它是一个很重要
3、的绝对不等式,对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢? 师:充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 以公式①为基础,运用不等式的性质推导公式②,这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础,用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索. 2.探索文档大全实
4、用标准 师:公式②反映了两个实数平方和的性质,下面我们研究两个以上的实数的平方和,探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R,依次对其中的两个运用公式②,有a2+b2≥2ab;b2+c2≥2bc;c2+a2≥2ca. 把以上三式叠加,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca③ (当且仅当a=b=c时取“=”号). 以此类推:如果ai∈R,i=1,2,…,n,那么有④ (当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号). ④式是②式的一种推广式,②式就是④式中n=2时的特殊情况.③和④式不必当作公式去记,但从它们的推导过程中可以
5、学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加. 3.再探索 师:考察两个以上实数的更高次幂的和,又能得到什么有趣的结果呢?先考查两个实数的立方和.由于a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), 启示我们把②式变成文档大全实用标准a2-ab+b2≥ab, 两边同乘以a+b,为了得到同向不等式,这里要求a、b∈R+,得到a3+b3≥a2b+ab2.⑤ 考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢? 生:由③式的推导方法,再增加一个正实数c,对b、c,c、a迭代⑤式,得到b3+c3≥b2c+bc2,c3+a3≥c2a+c
6、a2. 三式叠加,并应用公式②,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc.∴a3+b3+c3≥3abc⑥ (当且仅当a=b=c时取“=”号). 师:这是课本中的不等式定理2,即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍.同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果,进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果,直至n个正数的n次方的和会有什么结果.这些问题留给同学们课外去研究. 4.推论 师:直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式.文档大全实用
7、标准 ⑦ (当且仅当a=b时取“=”号). 这就是课本中定理1的推论. ⑧ (当且仅当a=b=c时取“=”号).这就是课本中定理2的推论. 当ai∈R+(i=1,2,…,n)时,有下面的推广公式(在中学不讲它的证明)文档大全实用标准⑨ (当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号). 何平均数.⑨式表明:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这是一个著名的平均数不等式定理.现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式,即⑦和⑧. 三、小结 (1)我们从公式①出发,运用综合法,得到许多不等式公式,其中要求同学
8、熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧.它们之间的关系可图示如下: (2)上述公式的证法不止综合法一种.比如公式②和⑥,在课本上是用比较法证明的.又如公式⑦也可以由①推出;用⑦还可以推出⑧;由⑦、⑧
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