高中数学2-3-1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修

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1、第二章圆锥曲线与方程2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、标准方程．2．掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据条件确定双曲线的标准方程.新知视界1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于

4、F1F2

5、)的点的轨迹是不是双曲线？提示：不是，是双曲线的某一支．在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则①

6、PF1

7、－

8、PF2

9、＝2a，曲线只

10、表示双曲线的右支．②

11、PF1

12、－

13、PF2

14、＝－2a，曲线只表示双曲线的左支．2．双曲线的标准方程提示：在x2，y2的系数异号的前提下，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．尝试应用1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线答案：C答案：A4．点(0,3)是双曲线ky2－8kx2＝8的一个焦点，则k的值为________．答案：1[点评](1)本题三角

15、形中的角的关系转化为边的关系，为利用双曲线的定义创造了条件．(2)由于动点M到两定点A、B的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！解析：(1)由已知得

16、PM

17、－

18、PN

19、＝2＝

20、MN

21、，∴P点的轨迹是一条射线．(2)设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：

22、

23、PF1

24、－

25、PF2

26、

27、＝2a＝8，而

28、PF2

29、＝15，解得

30、PF1

31、＝7或23.答案：(1)D(2)D[分析]可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．[点评]求双曲线的

32、标准方程一般采用待定系数法．若明确焦点位置时，可直接设出双曲线方程，若无法判定双曲线的焦点位置，分两种情况讨论，或者将双曲线方程设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．同时在解题时应注意方法技巧的灵活运用．如图1所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得[点评]在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件

33、

34、PF1

35、－

36、PF2

37、

38、＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．类型四　　双曲线实际应用[例4]如图2所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA

39、＝100m，PB＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．[分析]首先确定分界线上的任一点应是沿PA，PB两条路线距离相等的点，然后再进行讨论即可．[解]田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近．由题意知，界线是第三类点的轨迹．设M是界线上的任一点，则

40、PA

41、＋

42、MA

43、＝

44、PB

45、＋

46、MB

47、，即

48、MA

49、－

50、MB

51、＝

52、PB

53、－

54、PA

55、＝50(定值)．故所求界线是以A、B为焦点的

56、双曲线的一支．[点评]有关双曲线的实际应用题，关键是审清题意，根据题目中所给的条件列出方程或等式，如果没有坐标系要先建系，再根据双曲线的定义用待定系数法可解．迁移体验4如图3，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()答案：A思悟升华1．双曲线的定义(1)在定义中，必须是一个动点到两定点距离的差的绝对值，而不是距离的差．(2)要注意常数要小

57、于

58、F1F2

59、，当常数等于

60、F1F2

61、时，轨迹为两条射线，当常数大于

62、F1F2

63、时，轨迹不存在，在学习中与椭圆类比记忆．(3)注意常数不能为0，为0时轨迹为线段F1F2的垂直平分线．(2)无论焦点在什么轴上，a、b、c均满足c2＝a2＋b2，与椭圆要区别记忆．3．双曲线标准方程的求法(1)定义法：根据已知条件，若判断出点的轨迹为双曲线，且定值2a易求，则考虑运用定义法．(2)待定系数法：若告诉所求曲线为双曲线，则考虑运用待定系数法．首先判断焦点所在坐标轴，然后设出标准方程，再找出a、b、c满足的关系式，