数值算法的稳定性

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1、设x*是准确数,x是x*的近似数，称e=x*-x为近似值x的绝对误差，简称误差。上节课内容回顾——反映是近似值与精确值的绝对差值称为近似值x的相对误差——反映是近似值与精确值的近似程度通常用百分数来表示，相对误差越小，近似程度越高绝对误差限，相对误差限则称r为近似值x的相对误差限。

2、e

3、=

4、x*-x

5、，称为近似值x的绝对误差限，简称误差限或精度如果

6、e

7、=

8、x*-x

9、1/210m-n称近似数x准确到小数点后第n位,从这小数点后第n位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.有效数字有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.近似数x=±0.a1a2…an×10m3.1

10、42=0.3142×101，3.1416=0.31416×101，3.141=0.3141×101的近似值如下例：用四舍五入得到的数都是有效数字.4位有效数字5位有效数字3位有效数字m=1,n=4m=1,n=5m=1,n=3

11、e

12、=

13、x*-x

14、1/210m-n相对误差与有效数字的关系如下：定理1.1设近似数x=±0.a1a2…an×10m有n位有效数字,则其相对误差限为定理1.2设近似数x=±0.a1a2…an×10m的相对误差限为则它至少有n位有效数字。三、四则运算的误差计算绝对误差：e=x*-x=xdx相对误差：er=(x*-x)/x*dx/x=dlnx利用这个关系可以讨

15、论四则运算的误差和函数的误差例如下列式子说明什么误差结果?d(x+y)=dx+dydln(xy)=dlnx+dlnydln(xn)=ndlnx思考:若则作业：P12—131、3、4、6四则运算误差限的公式:近似计算中误差是不可避免的，但不能无限扩大。如何控制误差的传播，是设计算法时必须考虑的问题。本节将要介绍的内容就是如何控制误差的传播，给出一般的原则。解决一个计算问题往往有多种算法，用不同算法计算的结果其精度往往大不相同。这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播造成的，这种传播因算法不同而相异。§1.4算法的数值稳定性(数值计算中值得注意的问题)一个算法如果输入数据

16、有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。换句话说：若误差传播是可控制的,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。见教材第2、10—11页例：计算(1)In>0;(2)In单调递减In有以下性质在该例中,用上述公式计算积分的值,I0=ln6-ln5≈0.182322的舍入误差在计算过程迅速传播，每次扩大5倍，致使I12=-0.32902110×10-2严重失真，所以这一公式是不稳定的。有递推公式nInnInnInnIn10.088392260.0243239110.017324716-10.156920.05803870.018810

17、912-0.003290221750.843330.043138780.021237813-0.093374218-254016140.034306390.017056614-0.395442191270.8650.0284686100.0147169152.0438820-6354.23舍入误差在计算过程迅速传播，每次扩大5倍.所以此算法是不稳定的。然后取充分大的m对应的Im的一个估计值为计算初值，再逐步用上式算出Im-1，Im-2，...，I1。用上式计算Im可使计算的误差减少5倍，因而它对应的算法是数值稳定的算法。而将公式变为由:可取自n=20计算到n=1,nInnInnInnI

18、n200.00873016150.0105205100.015367650.0284684190.00825397140.011229290.016926540.0343063180.00887552130.012039980.093374230.0431387170.00933601120.012976670.021232620.0580389160.00989750110.014071360.023325010.0883922最后得:I0=0.182322与我们开始计算的I0≈0.182322是一样的该公式给出的算法就是稳定的下面通过例子给出算法数值稳定的几个原则：一、防止相近的两

19、数相减(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做)例2:当x较大时，计算0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生.控制误差传播的几个原则例1:各有五位有效数字的两个数23.034与22.993相减.23.034-22.993=0.041解:例3:用四位浮点数计算结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的。结果仍然有四位有效数字