数值算法的稳定性.ppt

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1、设x*是准确数,x是x*的近似数，称e=x*-x为近似值x的绝对误差，简称误差。上节课内容回顾——反映是近似值与精确值的绝对差值称为近似值x的相对误差——反映是近似值与精确值的近似程度通常用百分数来表示，相对误差越小，近似程度越高绝对误差限，相对误差限则称r为近似值x的相对误差限。

2、e

3、=

4、x*-x

5、，称为近似值x的绝对误差限，简称误差限或精度如果

6、e

7、=

8、x*-x

9、1/210m-n称近似数x准确到小数点后第n位,从这小数点后第n位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.有效数字有效数字越多,误差越小,计算结果越精确.近似数x=±0.a

10、1a2…an×10m相对误差与有效数字的关系如下：定理1.1设近似数x=±0.a1a2…an×10m有n位有效数字,则其相对误差限为定理1.2设近似数x=±0.a1a2…an×10m的相对误差限为则它至少有n位有效数字。§1.4算法的数值稳定性(数值计算中值得注意的问题)一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。换句话说：若误差传播是可控制的,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。见教材第2、10—11页例：计算(1)In>0;(2)In单调递减In有以下性质在该例中,用上述公式计算积分

11、的值,I0=ln6-ln5≈0.182322的舍入误差在计算过程迅速传播，每次扩大5倍，致使I12=-0.32902110×10-2严重失真，所以这一公式是不稳定的。有递推公式nInnInnInnIn10.088392260.0243239110.017324716-10.156920.05803870.018810912-0.003290221750.843330.043138780.021237813-0.093374218-254016140.034306390.017056614-0.395442191270.8650.0284686100.01471

12、69152.0438820-6354.23舍入误差在计算过程迅速传播，每次扩大5倍.所以此算法是不稳定的。然后取充分大的m对应的Im的一个估计值为计算初值，再逐步用上式算出Im-1，Im-2，...，I1。用上式计算Im可使计算的误差减少5倍，因而它对应的算法是数值稳定的算法。而将公式变为由:可取自n=20计算到n=1,nInnInnInnIn200.00873016150.0105205100.015367650.0284684190.00825397140.011229290.016926540.0343063180.00887552130.0120399

13、80.093374230.0431387170.00933601120.012976670.021232620.0580389160.00989750110.014071360.023325010.0883922最后得:I0=0.182322与我们开始计算的I0≈0.182322是一样的该公式给出的算法就是稳定的下面通过例子给出算法数值稳定的几个原则：一、防止相近的两数相减(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做)例2:当x较大时，计算0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生.控制误差传

14、播的几个原则例1:各有五位有效数字的两个数23.034与22.993相减.23.034-22.993=0.041解:例3:用四位浮点数计算结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的。结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的重要性。注：数值计算中要避免有效数字减少。二、防止大数吃小数当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数"吃掉"从而引起计算结果很不可靠.例4:求一元二次方程x2-(109+4)x+4×109=0的实数根.采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=109,x2=

15、4.如采用字长为8位的计算机来计算,求得根为x1=109，x2=0.(怎样计算可得较好的结果?)两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要“对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,有时需要把某些算式改写成另一种等价的形式.四、要控制舍入误差的累积和传播见教材第2、10—11页分母接近0，如何改进？如：

16、x

17、<<1时三、防止接近零的数做除数分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生较大的误差,此时可以用数学公式化简后再做.例5计算(1)In>0;(2)In单调递减In有以下性质也可以用等价无

18、穷小替换在该例中,用上述公式计算积分的