《反常积分55Γ函数》PPT课件

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1、机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法α§5.3内容回顾β(第二换元)(第一换元)(注:凑微分不换限)f(x)为连续偶函数时,f(x)为连续奇函数时.二、定积分的分部积分法则机动目录上页下页返回结束(上、下限为x的范围)n为偶数n为奇数二、无界函数的反常积分(定积分)常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分机动目录上页下页返回结束反常积分(广义积分)§5.4反常积分第五章(广义积分)一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回

2、结束定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束则定义(c为任意取定的常数,常取c=0)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定未定式,说明:上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表明该反常积分发散.则有类似N–L公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束注:F(+∞)与F(-∞)均收敛!!!否则反常积分发散.若F(x)是f(x)的原函数,引入下面记号,

3、可方便反常积分的计算例1.计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例2.计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束注:反常积分也有分部积分法、换元法等.且分部与换元的标准一般情况下与对应的不定积分是一致的.例3.证明证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反

4、常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函二、无界函数的反常积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,(也称瑕积分)无界点常称为瑕点(奇点).邻域内无界,例如,机动目录上页下页返回结束间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似N–L公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,

5、则则机动目录上页下页返回结束均收敛才收敛,否则发散均收敛才收敛,否则发散注:上面的叙述中a

6、页返回结束说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动目录上页下页返回结束应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.例７．计算机动目录上页下页返回结束解：上限为＋∞，下限为瑕点．令原式＝０＝２．(s≥1时)为无穷限(00时收敛)记为函数1.定义机动目录上页下页返回结束下面给出Γ函数的几条结论:(2)递推公式特别地:称为Γ函数.(1)当s>0时,Γ

7、函数收敛(在下册中证明)Γ函数的应用机动目录上页下页返回结束例如:计算令0+∞例如:计算令0+∞概率论中常用积分习题课目录上页下页返回结束本节要求:记住函数的定义及性质,并会应用.作业P2683令备用题1计算解:令机动目录上页下页返回结束(P27117(2))（+1）－1－Ｉ求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束2.设机动目录上页下页返回结束3.a>0,证明:证:令左边=(向右边靠拢)仅证:令所以…4.求下列积分(且不易求出原函数时,负代换试)(且不易求出原函数时,令x=a－t试）积分区间为对称区间时

8、积分区间为[0,a]时如P245例6及P25011(13)P2657(2)及P26614(1)令如26614(2)P2601(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五节目录上页下页返回结束作业作业P26835计算解:x=0为瑕点令机动目录上页下页返回结束(P26614(1))所以注:令令