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1、初等函数的性质-周期性四、函数的周期性定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在不为0的常数T，对任何x∈D都有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是f(u)的一个周期。例讲例1证明y=sinnx(n是自然数）是周期函数。思路：找到一个周期T，然后加以验证。例2用反证法证明函数y=xcosx不是周期函数。证明思路：假定它是周期函数，令一个正周期为T，则由定义，通过若干次取特殊值，推出矛盾。类题：证明下列函
2、数不是周期函数：1.f(x)=xsinx2.f(x)=sinx2；f(x)=cosx2。3.f(x)=cos√x;f(x)=sin√x。最小正周期有关问题最小正周期如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周期T一定是T0的正整数倍。例2设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。试证：当n为奇数时T=2π；当n为偶数时T=π。思路1：求出全部周期；思路2：先说T是周期，再用反证法说明比T小的正数均不为其周期。复合函数的周期性1定理7设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周
3、期为T。如果f(u)是定义在集合E上的函数，且当x∈D时，g(x)∈E，则复合函数f[g(x)]是集合D上以T为周期的周期函数。注意：f[g(x)]和g(x)的最小正周期未必相同。f[g(x)]的最小正周期不大于g(x)的最小正周期。例如y=cos2x。但如果f(u)在E上严格单调，则f[g(x)]也有最小正周期T。注意：复合函数的内外复合函数的周期性2定理设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周期为T。则有（1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k≠0)仍然是D上的周期函数，且最小正
4、周期仍为T。（2）函数k/f(x)(k为非0常数)是在集合{x
5、f(x)≠0,x∈D}上的周期函数，最小正周期仍为T。(3)f(ax+b)是(a≠0,ax+b∈D)是以T/
6、a
7、为最小正周期的周期函数。函数运算后的周期性定理8：函数f1(x),f2(x)都是定义在集合D上的周期函数，且周期分别为T1,T2，若T1/T2为有理数，则它们的和与积f1(x)+f2(x)；f1(x)·f2(x)也是D上的周期函数，T1与T2的公倍数是它们的和与积的一个周期。f1(x)-f2(x)；f1(x)/f2(x)也
8、有类似的结论。利用数学归纳法，可把该定理推广到任意有限个函数的情形。例讨论函数y=cosx+sinx·tg2x/3的周期性。周期函数运算后的周期性定理8的加强：如果把f1(x)与f2(x)限定为集合D上的连续周期函数，T1和T2分别是它们的最小正周期，则f1(x)+f2(x)；f1(x)·f2(x)是周期函数的充要条件是T1/T2为有理数。据此可以判断sinx+sinπx是非周期函数。上述必要性证明，用初等方法可证如下命题：对于正、余弦（切）函数f1(a1x)=sina1x或cosa1x，f2(a
9、2x)=sina2x或cosa2x，则f1(a1x)与f2(a2x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2为有理数。一些特殊的函数方程的周期性（1）如果下列条件之一满足，则函数y=f(x)是以2λ(λ≠0)为它的一个周期的周期函数：①f(x+λ)=-f(x)；②f(x+λ)=1/f(x)；③f(x+λ)=(-1)/f(x)（2）如果下列条件之一满足，则函数y=f(x)是以4λ(λ≠0)为它的一个周期的周期函数：①f(x+λ)=(1-f(x))/(1+f(x))；②f(x+λ)=(1+f(x)
10、)/(1-f(x))注上述周期函数的充分条件的论证，可通过计算直接推得.函数图像的对称性与周期性的联系1、两点中心对称若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于两点A(a,c)和B(b,c)(a≠b)都中心对称，则函数y=f(x)是以2
11、a-b
12、为它的一个周期的周期函数.2、点与轴对称若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,c)对称且关于直线x=b(a≠b)轴对称，则函数y=f(x)是以4
13、a-b
14、为它的一个周期的周期函数.3、两轴对称若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于两直线x=a与x=b
15、(a≠b)都对称，则函数y=f(x)是以2
16、a-b
17、为它的一个周期的周期函数.判断一些函数不是周期函数的几个结论1.若函数f(x)不是常数函数，且limf(x)=A(x→∞,A为某常数)，则f(x)不是周期函数。如f(x)=x(sin1/x+tg1/x)，f(x)=sinx/x；2.在有限区间上函数f(x)有界，且存在数列{xn}，使得limf(xn)=∞(n→+∞，则f(x)不是周期函数。如f(x)=xsinx.关于最小正周期在什么条件下，周期函数必有最小正周期呢？如果f(x)是
