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1、初等代数第8讲初等函数的性质一．有界性定义9如果存在正数M，对于函数f(x)的定义域内（或其子集）的一切值，都有
2、f(x)
3、≤M成立，那么函数f(x)叫做在定义域内（或其子集）上的有界函数。图像上的表现（P152例8）证明下面的命题：（1）函数y=是有界函数；（2）函数y=是无界函数。二．单调性单调性的定义函数y=f(x)在区间[a,b]上单调增，等价于：1）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2)有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>0（差商为正）；2）对任何x1,x2∈[a,b](x1≠x2)有(f(x2)-f(x1))(x2-x1)>0（
4、变分为正）。复合函数、反函数的单调性定理3如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；如果函数y=f(u)和函数u=g(x)的增减性相反，则复合函数y=f[g(x)]是减函数。定理4如果函数y=f(x)是定义在区间D上的单调函数，那么在区间D上一定有反函数x=f-1(y)存在，x=f-1(y)也是单调的，并且它和y=f(x)的增减性相同。注：定理4常用来断定反函数的存在，但是它的条件是充分条件，而非必要条件。例如分段函数课本例题解读p154例9讨论函数f(x)=x+1/x的单调性，并作出它的图像。一般的，诸如
5、f(x)=ax+b/x(a,b均不为0）的单调性、图像如何呢？P157例10设a>1，讨论函数y=ax2+2x-3的单调性和有界性。P157例11已知点M(1,2)既在函数y=f(x)=ax2+b(x≥0)的图像上，又在其反函数的图像上。（1）求反函数y=f-1(x)；a=-1/3,b=7/3（2）证明f-1(x)在其定义域上是减函数。补充例1讨论下列函数的单调区间：1）f(x)=-x；2）f(x)=。例2试求方程1x+2x+3x+…+9x=10x的解集中各元素之和的整数部分。三、函数的奇偶性定义11设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈D，都有f
6、(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。2．奇偶性的判断 1）函数运算后的奇偶性同为奇（或偶）函数的和与差的奇（或偶）不变；奇偶性不同的函数和差后如何？奇（偶）函数的倒数（分母不为0）仍为奇（偶）函数；乘除如何？如果奇函数的反函数存在，且定义在对称于原点的数集上，则此反函数仍为奇函数。2）复合函数的奇偶性（1）由奇偶函数复合而成的复合函数为奇函数的充要条件是这些函数都是奇函数。复合为偶函数的充要条件是这些函数中至少有一个偶函数。（2）设复合函数f2(f1(x))的定义域为D，如果f1
7、(x)为偶函数，那么f2(f1(x))一定是偶函数。3．奇偶性运用举例：例解方程(2x+9)2005+x2005+3x+9=0。注意：构造函数f(t)=t2005+t。则f(2x+9)=-f(x)=f(-x)x=-3四、函数的周期性定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在不为0的常数T，对任何x∈D都有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是f(u)的一个周期。最小正周期如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周期T一定是T0的正整数倍。例讲例1证
8、明y={x}是周期函数。思路：判断周期，然后加以验证。例2用反证法证明函数y=xcosx不是周期函数。证明：假定它是周期函数，令周期为T，则由定义，取特殊值，推出矛盾。练习：判断函数是否周期函数?1.f(x)=sinx22.f(x)=xsinx答：均不是周期函数最小正周期有关问题例1证明y=sinx的最小正周期是2π。1：求出全部周期；2：用反证法说明比2π小的均不为其周期。例2设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。试证：当n为奇数时T=2π；当n为偶数时T=π。函数经运算、复合后的周期性问题定理6设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正
9、周期为T。则有（1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k≠0)仍然是D上的周期函数，且最小正周期仍为T。（2）函数k/f(x)(k为非0常数)是在集合{x
10、f(x)≠0,x∈D}上的周期函数，最小正周期仍为T。(3)f(ax+b)是(a≠0,ax+b∈D)是以T/
11、a
12、为最小正周期的周期函数。复合函数的周期性定理7设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周期为T。如果f(x)是定义在集合E上的函数，且当x∈D时，g(x)∈E，则复合函数f[g(x)]是集合D上以T为周期的周期函数。注意：f[g(x)]和g(x)的最小正周期未必相同。一般地说，f
13、[g(x)]的最小正周期不大于g(x)的最小正周期。例如y=cos2x。函数运算
