北邮概率统计课件34相互独立的随机变量

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1、两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立.第四节相互独立的随机变量两随机变量独立概念的引出问：若X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则能否得出X,Y相互独立？9/8/2021课件一.随机变量相互独立的定义设(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数为F(x,y)若对任意的x,y都有:则称随机变量X和Y是相互独立的.二.当(X,Y)为离散型随机变量X和Y相互独立是的所有可能的取值9/8/2021课件例1.设X,Y相互独立，它们的分布律分别为:求:(X,Y)的联合分布律.解:

2、相互独立从而：9/8/2021课件依次可得(X,Y)的联合分布律为:XY从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知X,Y相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。9/8/2021课件三.当(X,Y)为连续型随机变量设(X,Y)服从正态分布，其边缘分布密度为：例2.9/8/2021课件问:X和Y相互独立的充分必要条件是什么?解:要则比较可知其充分必要条件是：9/8/2021课件(1)联合概率密度及边缘概率密度(2)检验X和Y是否相互独立(3)(

3、X,Y)的联合分布函数(4)例3.求:解:(1).设随机变量(X,Y)在矩形域:内服从均匀分布(X,Y)服从均匀分布由题意在区域内9/8/2021课件在矩形上:所以，其联合概率密度为：9/8/2021课件在其它域上:(2).所以得其边缘概率密度分别为：与相互独立9/8/2021课件(3).视它为不可能事件9/8/2021课件9/8/2021课件故(X,Y)的联合分布函数为9/8/2021课件(4).甲乙两人约定中午12时30分在某地会面。设甲在时间12:15到12:45之间到达某地是均匀分布；乙独立地到达，而且

4、到达时间在12:00到13:00之间也是均匀分布.试求：(1)先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.(2)甲先到的概率例4.9/8/2021课件设X：甲到达时刻，Y：乙到达时刻若以12时为起点，以分为单位，依题意：X~U(15,45),Y~U(0,60)先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率甲先到的概率解:且有：所求为：P(

5、X-Y

6、5)及P(X

7、X-Y

8、5)=1/6=1/2P(X

9、一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时而该码头只能停泊一艘船试求：其中一艘船要等待码头空出的概率.★9/8/2021课件在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求：发生两信号互相干扰的概率.★把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段求：它们可以构成三角形的概率.★长度为a9/8/2021课件四.个随机变量相互独立的概念定义1.则称是相互独立的。定义2.若对所有的有：若

10、对所有的有：其中依次为随机变量和的分布函数。则称和是相互独立的。关于的边缘分布函数9/8/2021课件若连续型随机向量（X1,…,Xn）的概率密度函数f(x1,…,xn)可表示为n个函数g1,…,gn之积，其中gi只依赖于xi，即f(x1,…,xn)=g1(x1)…gn(xn)则X1,…,Xn相互独立，且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.关于独立性的三个结果：定理19/8/2021课件若X1,…,Xn相互独立，而：Y1=g1(X1,…,Xm),Y2=g2(Xm+1,…,Xn)则Y1与Y

11、2相互独立.定理2定理3和相互独立设则和相互独立。又若是连续函数，则：和相互独立。9/8/2021课件