北邮概率统计课件.中心极限定理

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1、北邮概率统计课件5.2中心极限定理在概率论中，我们已经知道正态分布居于头等重要的地位，许多随机变量都遵循正态分布。自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见。并且大量实验观察也表明如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似服从正态分布。第二节中心极限定理问题的引出高斯北邮概率统计课件(1).具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的和经过标准化后是以标准正态分布为极限的，这就是独立同分布的中心极限定理或称为林德贝尔格---勒维中

2、心极限定理。当同分布为二项分布时就得出该定理的特例，即为：棣莫弗---拉普拉斯定理，它也是二项分布的正态近似。这仅仅是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？对于这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越工作建立了一系列定理，解决了这一问题，并指出:北邮概率统计课件(2).对“由大量微小的独立的随机因素”（不要求同分布）引起并累积成的变量，当随机因素个数趋于无穷时以正态分布为极限。这就是李雅普诺夫中心极限定理。比如：一台机床已经调试良好，操作正常。但由于机床的微小震动、工具的微小变形、原材料质量上的

3、微小差异、工作操作上的微小偏差等等数不清的随机因素，它们每一个因素在总的影响中所起的作用都是微小的。而综合起来在产品质量上就形成一定的误差，这误差近似服从正态分布。北邮概率统计课件在一定条件下，大量的随机变量之和的概率分布以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。故：研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？在什么条件下极限分布会是正态的呢？研究的问题：北邮概率统计课件在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响：

4、例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响：中心极限定理的客观背景如，瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.而所要研究的是：这些随机因素的总影响。北邮概率统计课件一.独立同分布中心极限定理定理1.设随机变量相互独立且服从同一分布，其数学期望与方差:（林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理）则随机变量之和的标准化变量：北邮概率统计课件的分布函数对于任意满足:证：(略)它要用到特征函数和傅利叶变换等等。注:▲定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变

5、量之和近似服从正态分布。虽然在一般情况下，很难求出X1+X2+…+Xn的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出其近似分布。北邮概率统计课件定理1表达了正态分布在概率论中的特殊地位:尽管分布是任意的，但只要n充分大后，其样本平均值的分布却是近似服从正态分布的：▲或这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础北邮概率统计课件二.李雅普诺夫定理定理2.设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差为：(Liapunov中心极限定理)记若存在正数使得当北邮概率统计课件则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意满足:证明：（略）北邮概率统计课

6、件注:▲定理2表明，当n充分大时，随机变量：近似服从标准正态分布。即，近似服从正态分布▲由此，定理2再次表达了正态分布在概率论中的特殊地位：无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理2的条件，那么它们的和当n充分大时就近似服从正态分布。北邮概率统计课件三.棣莫弗---拉普拉斯定理定理3.（DeMoivere—laplace中心极限定理）设随机变量相互独立，且服从参数为的二项分布，则对任意恒有:证明:服从参数为的二项分布若随机变量相互独立，且服从同一(0—1)分布，则见教材P125例6的结论北邮概率统计课件由此是n个相互独立，服从

7、同一(0--1)分布的之和。即：其中的分布律为：由定理1得：北邮概率统计课件注:定理3表明，正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时可以用正态分布来计算二项分布的概率。在第二章中已介绍当时，二项分布以泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又以正态分布为极限分布。这两者的区别是：▲▲在泊松定理中要求在中心极限定理中要求所以在实际计算中，如果n很大但np或nq不大(即p很小或q=1-p很小)，那么应该用泊松定理去近似；如果n，np或nq都较大，那么应该用中心极限定理去近似。北邮概率统计课件中心极限定理的直观图示例:20个服从（0—

8、1）分布的随机变量的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)例:几个在(0,1)上服从均匀分布的随机变量的和的分布。0123xfgh▲北邮概率统计课件例1.抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个则认为这批产品不能接受。解:设应检查