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《概率与数理统计 5.3 中心极限定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§5.3中心极限定理在第2章,我们提到在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都是服从或近似服从正态分布的.中心极限定理就是以此为背景的关于“在一定的条件下大量的相互独立的随机变量和的极限分布是正态分布”的一系列定理.定理一林德伯格-列维中心极限定理[独立同分布的中心极限定理](Lindberg-levi)棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理[二项分布以正态分布为极限分布](DeMoivre-Laplace)定理二定理三林德伯格-列维中心极限定理[独立不同分布的中心极限定理](Lindberg-levi)随机变量定义当随机变量X的均值、方
2、差都存在时,则称为随机变量X的标准化随机向量.根据第二章知识若则X的标准化若X1,X2,…Xn为独立同分布的随机变量，，则其标准化随机变量更一般地，有下面的关于标准化随机变量的近似分布的中心极限定理.独立同分布,且有期望和方差：则对于任意实数x,定理1独立同分布的中心极限定理设随机变量序列注则Yn为的标准化随机变量.即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从中心极限定理的意义在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能
3、起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果.对此现象还可举个有趣的例子——高尔顿钉板试验——加以说明.03—钉子层数定理1证明：设Xi-的特征函数为(t),E(Xi-)=0,D(Xi-)=2'(t)=0,''(t)=-2令定理2(德莫佛—拉普拉斯(DeMoivre-Laplace）中心极限定理)设Yn~B(n,p),04、,np(1-p))(近似)定理表明,当n充分大时,二项分布B(n,p)可近似地用正态分布N(np,np(1-p))来代替.因此,当X~B(n,p),且n充分大时,有其中q=1-p.利用微分中值定理可以进一步证明:对于随机变量X~B(n,p),n充分大时,注正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布,泊松定理要求n→∞，同时p→0,np→λ德莫佛—拉普拉斯定理只要求n→∞。中心极限定理的应用例1每颗炮弹命中飞机的概率都为0.01,求(1)500发炮弹中命中5发的概率.(2)500发炮弹至少命中2发的概率.解(1)500发炮弹命中
5、飞机的炮弹数X~B(n,p),其中：n=500,p=0.01,np=5,下面用三种方法计算并加以比较1°用二项分布公式计算：2°用泊松分布公式近似计算3°用正态分布近似计算(2)要求的是P{X≥2}1°用二项分布公式计算：P{X≥2}=1-P{X=0}-P{X=1}2°用泊松分布计算：3°用正态分布近似计算例2炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.解设
6、Xk表示第k次轰击命中的炮弹数相互独立，设X表示100次轰击命中的炮弹数,则由独立同分布中心极限定理,有(1)(2)例3售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320).解令Xi为售出了第i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,…,100(几何分布)相互独立,由独立同分布中心极限定理,有例4检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多
7、于1900个的概率.解若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(秒)设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900XkP10200.50.5相互独立同分布,例5某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间a千瓦的电力，X为开工的车床数,则X~B(200,0.6),X~N(120,48
8、)(近似)由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,有问题转化为求a,使反查标准正态函数分布表，得令解得(千瓦)例6设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(600
