《概率论与数理统计》5-1 中心极限定理

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1、第五章随机变量序列的极限概率论的基本任务是研究随机现象的统计规律性.引进随机变量之后,我们集中研究了随机变量取值的统计规律性.在一个具体问题中,这种统计规律性往往通过大量的重复观测来体现,对大量的重复观测作数学处理的常用方法是研究极限.§5.1大数定律lawoflargenumbers在§1.3中,我们曾经提到频率的稳定性.设随机事件A的概率P(A)=p,在n重贝努利试验中事件A发生的频率为fAn.当n很大时,将与p非常接近.由于fA本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试n验可能取不同的值,因而需要对随机变量序列引进新的收敛性定义.定义5.1依概率收敛设XX,,是一个随机变量序列

2、.如果存在一个常数c12使得对任意一个正数,总有limPXnc1n则称随机变量序列XX,,依概率收敛于c12P记作:XcnPP定理5.1如果XaY,,b且函数nngxy,在ab,处连续,则PgXYnn,,gab下面,考虑频率的稳定性定理5.4贝努里大数定律设XX,,是一个随机变量序列.且每一个随机变量12都服从0-1分布Bp1,,则PXp证明关键步骤:1EXpDX,1ppn定理5.3独立同分布情形下大数定律设XX,,是一个独立同分布的随机变量序列.且122PEX,.DX则X证明关

3、键步骤:12EX,DXn定理5.2切比雪夫大数定律设XX,,是两两不相关的随机变量序列.且12方差一致有界.则nn11PXiiEXnnii11证明关键步骤:nn11EXiiEXnnii11nn11DXii2DXnii11nn1n2DXicovXXij,i1ij1cnc2nn§5.2中心极限定理在数理统计中经常要用到n个独立同分布的随机变量nXX1,2,,Xn的和Xi的分布,但要给出其精确分布有i1时很困难.正态分布具有可加性，若2XX12,,Xniii

4、d,XN,n则:2Xi,Nnni1标准化后得nXnii1N0,12nn因此:Xnii1Pbbn定理5.5独立同分布的中心极限设XX,,,X,是独立同分布的随机变量序列,且12n2EXiipDX,0i1,2,,则对任意的xx,有nXinpi1limPxx.nn应n用PaXbi当i1nn充Xni分ani1bn大P时nnn2bnan

5、nn例1某人要测量甲、乙两地的距离,限于测量工具,他分成1200段进行测量,每段测量误差（单位:厘米）服从区间0.5,0.5上的均匀分布,试求总距离测量误差的绝对值超过20厘米的概率.1200解设第i段的测量误差为Xi,所以累计误差为Xi,i1又XX,,,X为独立同分布的随机变量,由121200XRi0.5,0.5得1EXii0,DX,i1,2,,1200.12由独立同分布情形下的中心极限定理:nnXni20PX20Pi1ii1n1120012nXni12Pi1

6、n1222120.0456.定理5.5中限定条件得到如下定理5.6定理5.6设XX,,,X是一个独立同分布的12n随机变量序列,且XiB1,p,令nYXni,i1则对任意的xx,有2tYnp1xn2limPxedt,nnp1p2Ynpn即当n充分大时,近似服从标准正态分布.np1p例2.在次品率为1/6的一大批产品中,任意取出300件产品,利用中心极限定理,计算抽取的产品中次品数在40到60之间的概率.解以Yn表示300件产品中次品的总数,由题意得1Y

7、B300,,n6250此时,np50,np1p,由中心极限定理得64050Ynp6050nP40X60P250/6np1p250/61.551.5521.5510.8788.例3.有一批钢材,其中80%的长度不小于3m,现从钢材中随机取出100根,试利用中心极限定理求小于3m的钢不超过30根的概率.解以Yn为100根钢材中小于3m的