《A1数列的极限》PPT课件

《《A1数列的极限》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.数列的极限微积分学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限理论，这是高等数学区别于中等数学的显著标志，因此极限理论构成微积分学的基础。它是从有限到无限，从近似到精确的桥梁。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”——庄子1§2.数列的极限我国魏晋时期的数学家刘徽用圆内接正多边形来推算圆面积，即为割圆术。圆内接正三角形面积A1圆内接正六边形面积A2圆内接正十二边形面积A3…圆内接正n边形面积An发现圆面积正是A1，A2，…，An,…当n无限变大时的趋近值。21.数列的定义按照某一法则，依次排列着的无穷多个数：称为无穷数列，简称数列，记作{xn},其

2、中每一个数称为数列的项，xn称为一般项或通项。一、数列的概念3例：①1，2，3，…，n,…xn=n.②1!,2!,3!,…,n!,…③④⑤xn=n!xn=xn=(-1)n+1xn=4例：①1，2，3，…，n,…xn=n.②1!,2!,3!,…,n!,…③④⑤xn=n!xn=xn=(-1)n+1xn=7.9.5数列在几何上表示数轴上的点列。.0.1.2.3.4....n...-1思考：可否看作函数？答：可看作自变量取正整数的函数：xn=f(n),D:n=1,2,…称为整变量函数。.1.1.-162.数列的性质10，单调性对数列{xn},若都有则称

3、为单调增加数列；则称为单调减少数列。统称单调数列。例1，2，5单调增加例3单调减少例4不单调57从几何上看，单调数列在数轴上的点向同一个方向移动。单调增加向右单调减少向左说明：数列的单调性有时是从某一项才开始的;(1)xn=n2-7n:-6,-10,-12,-12,-10,-6,0,8,18,…(2)不单调且交替增减的数列，称为摆动数列，如④:xn=(-1)n+1。820，有界性对数列{xn},若存在M>0，使对一切xn满足则称数列{xn}有界；若这样的M不存在，则称数列{xn}无界。例3，4，5有界例1，2无界59二、数列的极限考察数列.1.

4、0..-1.......当n无限增大时，xn与0(原点)的距离无限变小，要多小就能多小！.110要求只要n>1000;只要n>1000000.…(任意小的正数)只要n>N(某一项),数0称为数列11一般，设{xn}为数列，a为常数，1.定义（数列极限的分析定义）若对于任给ε>0,总存在(正整数),当n>N时，都有则称a为数列{xn}的极限，或称{xn}收敛于a，{xn}称为收敛数列，记作若{xn}没有极限，则称{xn}为发散数列。简述：当n>N时，都有或12(1)ε是什么数？ε是任意小的正数，它有二重性：10.任意性当极限存在时，ε可任意选取，

5、才能真正体现{xn}无限接近a的思想。20.相对固定性一旦选定ε，ε就是相对固定的数，然后才能对此ε寻找N.13(2)N是什么数？N是正整数，是项数，N(ε)随ε的给定而确定。一般：ε越小，N越大；N不唯一！∴不一定取最小的N。指当n=N+1,N+2,…时，有无穷多个不等式成立：142.数列极限的几何意义即当n>N时数列{xn}中的点都落在而只有有限个点（至多只有N个）落在此区间之外。.x1.a(a-ε)a+ε.x2.x3.x4.x5.xN.xN+1数列极限存在与否，与它前面的有限项无关。15当x=n,则相应的点都落在绿色区域内nf(n)0AN

6、123N+1N+2数列的极限对一切n>N自然数NA的邻域16当x=n,则nf(n)0AN123N+1N+2数列的极限.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数NA的邻域17当x=n,则nf(n)0AN123N+1N+2数列的极限.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数NA的邻域18当x=n,则nf(n)0AN123N+1N+2.相应的点都落在绿色区域内对一切n>N自然数NA的邻域数列的极限19当x=n,则nf(n)0A123NNNNNN+1N+2因此，数列的极限定义也称数列极限的—N定义.相应的点都落在绿色区域内

7、对一切n>N自然数NA的邻域数列的极限20关键：对给定的ε>0,找N，例1：用定义验证证：则当n>N时，∴得证。21例2.证：(<0?)则当n>N时，22例3.证明等比数列同理，对等比数列证：当n>N时，23(M>0为常数)错误定义：24三、收敛数列的性质1.唯一性定理1.若数列{xn}收敛，则其极限值唯一。证：用反证法，设收敛数列{xn}有两个极限值a与b,且a≠b，不妨设a>b,∵{xn}收敛,∴取某个则存在N1，当n>N1时，有且存在N2，当n>N2时，有25矛盾，∴a=b得证。若数列{xn}的极限不唯一，则{xn}发散。如：xn=

8、(-1)n+1发散262.有界性定理2.若数列{xn}收敛，则数列{xn}有界。证：∵数列{xn}收敛，由定义，对某个给定的正数ε0，必存在N，则对一