§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

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1、常用等价无穷小:设x=x0+Dx则当Dx0时xx0因此Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数的连续性定义间断点复习可去型第一类间断点跳跃型无穷型第二类间断点oyxoyxoyx下页oyx振荡型一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数在点x0也连续例1因为sinx和cosx都在区间(-+)内连续所以t

2、anx和cotx在它们的定义域内是连续的三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定义的区间内都是连续的首页>>>二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y

3、yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的下页例2同样y=arccosx在区间[-11]上是连续的y=arctanx在区间(-+

4、)内是连续的y=arccotx在区间(-+)内是连续的反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y

5、yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的例2即：单调连续的函数有单调连续的反函数.定理3下页设函数yf[g(x)]由

6、函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如,注:(1)把定理中的xx0换成x可得类似的定理提示:例3解下页定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4注意定理4是定理3的特殊情况.定理3设

7、函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成>>>设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4例如,sinu当-

8、的.(均在其定义域内连续)定义区间是指包含在定义域内的区间.例6例5解解下页利用连续性求极限举例特别地例证明证特别地例7求令ax-1=t解则x=loga(1+t)x0时t0于是利用连续性求极限举例另解:特别地=lna思考:求解:原式说明:若则有练习练习小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业P683(5),(6)

9、,(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成立.思考题思考题1思考题1解答是它的可去间断点