D74空间直线及其方程

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1、第四节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程第七章三、有轴平面束一、空间直线方程1.对称式方程故有设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)已知直线上一点和它的方向向量说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.表示.例如,当时，若表示？2.参数式方程设得参数式方程:3.一般式方程因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;

2、再找直线的方向向量.是直线外一点,点例2.求点M0到线L的距离.解:由直线方程可知,直线方向向量为是直线L上一点.那么向量与构成的平行四边形的面积为所以点M0到线L的距离为二、线面间的位置关系1.两直线的夹角则两直线夹角满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为特别有:例3.求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足直

3、线和它在平面上的投影直︿特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂例4.求过点(1,－2,4)且与平面三、有轴平面束设空间直线方程为则过L的平面束方程为若不为零，令则过L的平面束方程为例5.求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.解:过直线L的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程应该还有一个平面，怎么丢了呢？例6.求直线在平面上的投影直线方程.解：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程一般式对称式参数式1.空间直线方程内容小结直线2.线

4、与线的关系直线夹角公式:平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:P228A:1.(2),(4);2.(1);3;5.(2)6.(3)B:2;5作业解：相交,求此直线方程.的方向向量为过A点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线又和直线备用题设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L2的交点.即故所求直线方程为则有代入上式,得由点法式得所求直线方程而