D62定积分在几何学上的应用

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1、四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直及x轴所则机动目录上页下页返回结束围曲边梯形面积为A,右下图所示图形面积为线例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束例2.计算抛物线与直线围图形的面积.解:由得交点所为简便计算,选取y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结

2、束例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束对应例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束从0变到2所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即尖点:面积:弧长:参数的几何意义心形线目录上页下页返回结束例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束例8.求双纽线所围图

3、形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机动目录上页下页返回结束答案:二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P168)机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧

4、微分):(自己验证)机动目录上页下页返回结束例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:机动目录上页下页返回结束下垂悬链线方程为例10.求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束例11.计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页下页返回结束例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P349公式39)小结目录上页下页返回结束三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,当考虑连续曲线段绕x轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段

5、绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注注目录上页下页返回结束分部积分注(利用“偶倍奇零”)柱壳体积说明:柱面面积机动目录上页下页返回结束偶函数奇函数机动目录上页下页返回结束例15.设在x

6、≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动目录上页下页返回结束垂直x轴的截面是椭圆例17.计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当a=b=c时就是球体体积.机动目录上页下页返回结束的体积.例18.求曲线与x轴围成

7、的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线积分后得旋转体的侧面积求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的机动目录上页下页返回结束注意:侧面积为例19.计算圆x轴旋转一周所得的球台的