CH173方向导数与梯度

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1、第17章第3节一、方向导数二、梯度方向导数与梯度1引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热到冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向导数在一些实际问题中，需要研究函数在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。2若函数则称此极限为函数在点P0处沿方向l的方向导数.记作在点的某邻域表示P与P0的距离,若存在下列极限

2、:内有定义,l为从点出发的射线,为l上且含于内的任意一点.定义:3注意若l的方向角为记则4定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故5对于二元函数向角为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向6方向导数存在•可微反例见教材P126例27例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为8指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A例2.函数提示:则9二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率(即方向导数)最大的方向模:f变化率的最大值方向导数取最大值

3、：设函数在点可微,其沿着不同方向的方向导数是不同的，101.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度注意:函数沿某方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量112.梯度的基本运算公式12例1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性13例2：求函数在点M（1，0，－1）处的最大方向导数。解：在点M（1，0，－1）处的最大方向导数为：同理14解由梯度计算公式得故例315例4.证:试证处矢径r的模,16内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(

4、方向角为172.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.18P1271,2，3，4.作业19例3.求函数在点P(2,3)沿曲线切线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为20例4.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数21