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1、第1章函数、极限、连续第1节集合、映射与函数第2节数列的极限第3节函数的极限第4节无穷小量及无穷大量第5节连续函数2008年10月20日1南京航空航天大学理学院数学系第4节无穷小量及无穷大量4.1无穷小量及其阶4.2无穷小的等价代换4.3无穷大量2008年10月20日2南京航空航天大学理学院数学系无穷小量（1）定义4.1(无穷小量)当若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;为时的无穷小量.2008年10月20日3南京航空航天大学理学院数学系注意1.无穷小是以0为极限的函数,不能与很小的数混淆;例：同时无穷小是相对于某变化过程而言!2008年10月20日4南
2、京航空航天大学理学院数学系注意2.零是可以作为无穷小的唯一的数.即除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC2008年10月20日5南京航空航天大学理学院数学系（2）无穷小与函数极限的关系其中为时的无穷小量.定理4.1(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.2008年10月20日6南京航空航天大学理学院数学系意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2008年10月20日7南京航空航天大学理学院数学系（3）无穷小的运算性质定理4.2在同一极限过程中,(1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(3)有极限的函数与无
3、穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.(2)有限个无穷小的乘积也是无穷小.2008年10月20日8南京航空航天大学理学院数学系定理4.3设在x0处局部有界，则定理4.3常描述为有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证从而有由夹逼性,有都是无穷小.2008年10月20日9南京航空航天大学理学院数学系2.无穷小的比较极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限不可比.2008年10月20日10南京航空航天大学理学院数学系（1）无穷小的阶定义4.22008年10月20日11南京航空航天大学理学院数学系注意例１解例如2008年10月20日12南京航空航天大学理学院
4、数学系例2证明:当时,～证～2008年10月20日13南京航空航天大学理学院数学系等价无穷小的刻画例如,2008年10月20日14南京航空航天大学理学院数学系常用的等价无穷小:2008年10月20日15南京航空航天大学理学院数学系（2）无穷小的等价代换定理4.4(无穷小量的等价代换)证2008年10月20日16南京航空航天大学理学院数学系例２解不能滥用等价无穷小量代换.注意只能对分子分母中的无穷小因子进行代换.不能对所求极限表达式中的被加,被减函数进行代换,否则会产生错误.2008年10月20日17南京航空航天大学理学院数学系例３解解错2008年10月20日18南京航空航天
5、大学理学院数学系3.无穷大量观察：越来越大越来越大越来越小越来越大越来越大2008年10月20日19南京航空航天大学理学院数学系定义4.3若任给M>0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在无穷大(量)的定义2008年10月20日20南京航空航天大学理学院数学系证2008年10月20日21南京航空航天大学理学院数学系注意1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.2008年10月20日22南京航空航天大学理学院数学系2008年10月20日23南京航空航天大学
6、理学院数学系4.无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理4.5在自变量的同一变化过程中,意义:2008年10月20日24南京航空航天大学理学院数学系证2008年10月20日25南京航空航天大学理学院数学系5无穷大量阶的比较定义2008年10月20日26南京航空航天大学理学院数学系2008年10月20日27南京航空航天大学理学院数学系O记号的含义(P63)定义2008年10月20日28南京航空航天大学理学院数学系解商的法则不能用由无穷大量与无穷小量的关系,得例72008年10月20日29南京航
7、空航天大学理学院数学系例8解2008年10月20日30南京航空航天大学理学院数学系无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.小结2008年10月20日31南京航空航天大学理学院数学系例9求解法1原式=解法2令则原式=2008年10月20日32南京航空航天大学理学院数学系EX.求极限解答2008年10月20日33南京航空航天大学理学院数学系极限求法小结:a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.变量代换法e.利用无穷小运算性质求极限
