高中数学第二讲直线与园的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理学案含解析

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1、二圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．圆内接四边形的性质　如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直B

2、A的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.　本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，证A，D，E，F四点共圆后可得结论．　连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．101．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,

3、5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°，∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.2.已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4.∴AB＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB

4、.∴＝.∵AB＝AC＝3cm，AD＝2cm，∴AE＝＝cm.∴DE＝－2＝(cm).圆内接四边形的判定　如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.求证：E，D，P，F四点共圆．　可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．10　如图，连接PF，∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF＝AC.∵FC＝AC，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠

5、C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的常见方法：(1)如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外

6、接圆；(2)正确，矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D，E，F，G四点共圆；10(2)G，B，C，F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D，E，F，G四点距离相等，∴D，E，F，G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又

7、由(1)中D，E，F，G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G，B，C，F四点共圆.圆内接四边形的综合应用　(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．　(1)要证CA是△ABC外接圆的直径，只需证∠ABC为直角；(2)要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比．　(1)证明：

8、因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(