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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理成长学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二圆内接四边形的性质与判定定理主动成长夯基达标1.已知四边形ABCD是圆内接四边形,下列结论中正确的有（ ）①如果∠A＝∠C,则∠A＝90°②如果∠A＝∠B,则四边形ABCD是等腰梯形 ③∠A的外角与∠C的外角互补④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为直角;②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例);③互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额相等(这
2、里1＋3≠2＋4).因此得出①③正确,②④错误.答案:B2.圆内接平行四边形一定是（ ）A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形.答案:D3.如图2-2-6所示,AB、CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点,延长FD、AB交于点E.求证:AE·AC＝AF·DE.图2-2-6思路分析:连结BD,则BD＝AC,即证AE·BD＝AF·DE.证明:连结BD,∵AB∥CD,∴BD＝AC.∵A、B、D
3、、F四点共圆,∴∠EBD=∠F.∵∠E为△EBD和△EFA的公共角,∴△EBD∽△EFA.∴=.∴=,即AE·AC＝AF·DE.4.如图2-2-7所示,在△ABC中,AB=AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP=BQ.求证:△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.图2-2-7思路分析:要证O、A、P、Q四点共圆,只需证∠CPO=∠AQO即可.为此,只要证△CPO≌△AQO即可.证明:连结OA、OC、OP、OQ.在△OCP和△OAQ中,OC=OA,由已知CA=AB,AP=BQ,∴CP=AQ.
4、又O是△ABC的外心,∴∠OCP=∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上,∴∠OAC=∠OAQ,从而∠OCP=∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO=∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆.5.如图2-2-8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AC中点,DE平分∠ADB,交AB于E,过A、D、E的圆交BD于N.求证:BN=2AE.图2-2-8思路分析:要证BN=2AE,由已知有AB=AC=2AD,所以只需证=.而又因为AE=NE,所以只需证=,这可由△BNE∽△BAD证得.证明:连结EN,
5、∵四边形AEND是圆内接四边形,∴∠BNE=∠A.又∵∠ABD=∠EBN,∴△BNE∽△BAD.∴=.∵AB=AC,AC=2AD,∴AB=2AD.∴BN=2EN.又∵∠ADE=∠NDE,∴AE=EN,∴AE=EN,∴BN=2AE.6.如图2-2-9,已知四边形ABCD内接于⊙O,边AB与DC的延长线交于点E,边AD与BC的延长线相交于点F,EG与FG分别是∠AEC和∠AFC的角平分线.求证:EG⊥FG.图2-2-9思路分析:注意到EG平分∠AED,因此，要证GF⊥GE,只要构造等腰三角形，便可利用三
6、线合一的性质来证.证明:延长FG交AB于M,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠NCF=∠A.∵∠MNE=∠NFC+∠NCF,∴∠MNE=∠NFC+∠A.又FG平分∠AFB,∴∠AFM=∠NFC.∴∠MNE=∠A+∠AFM.又∠NME=∠A+∠AFM,∴∠MNE=∠NME,即EM=EN.又∵GE平分∠MEN,∴GE⊥MN,即EG⊥FG.7.如图2-2-10,已知半圆的直径AB=6cm,CD是半圆上长为2cm的弦,AC与BD延长线交于P,当弦CD在半圆上滑动时,求证:∠P为定值,并求出这个定角的
7、正弦值.图2-2-10思路分析:要证∠P为定值,考虑求出∠P的三角函数值,因此,构造以∠P为内角的直角三角形,注意到AB为直径,则连结BC、AD均可得到直角三角形.解:连结BC,∵CD为定长,圆直径为定值,∴在CD滑动过程中,CD的度数不变,∴∠PBC为定值.又AB为直径,∴∠ACB=∠PCB=90°,∴∠P=90°-∠PBC为定值.∵∠PCD=∠PBA,∴△PCD∽△PBA.∴.在Rt△PBC中,cosP=,∴sinP=.8.如图2-2-11,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD=
8、DC,分别延长BA、CD交于点E,BF⊥EC,交EC的延长线于F,若EA=AO,BC=12.求CF的长.图2-2-11思路分析:在Rt△CFB中,已知BC=12,要求CF,只有寻找与它相似的三角形,根据四边形ABCD内接于⊙O,则∠BCF=∠BAD,因此连结BD,构造Rt△BAD,下面证明△BAD∽△BCF.解:连结OD、BD,∵AD=DC,∴AD=DC.∴∠ABC
