高中数学第2讲直线与圆的位置关系2圆内接四边形的性质与判定定理学案新人教a版选修4

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1、二 圆内接四边形的性质与判定定理1.了解圆内接四边形的概念.2.掌握圆内接四边形的性质、判定定理及其推论,并能解决有关问题.(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 圆内接四边形的性质定理阅读教材P27~P28定理2,完成下列问题.1.定理1:圆的内接四边形的对角互补.如图221,四边形ABCD内接于⊙O,则有:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.图2212.定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.图222如图222,∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角,则有:∠CBE=∠D.四边

2、形ABCD内接于圆O,延长AB到E,∠ADC=32°,则∠CBE等于(  )A.32°      B.58°C.122°D.148°【解析】 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知,∠CBE=32°.【答案】 A教材整理2 圆内接四边形的判定定理及推论阅读教材P28~P29,完成下列问题.1.判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.2.推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.若AD,BE,CF为△ABC的三条高线,交于H,则图223

3、中四点共圆的组数是(  )图223A.3B.4C.5D.6【解析】 其中B,D,H,F共圆;C,D,H,E共圆;A,E,H,F共圆;A,F,D,C共圆;B,C,E,F共圆;A,B,E,D共圆.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]圆内接四边形的性质 如图224,圆内接四边形ABCD的一组对边AB,DC的延长线相交于点E,且∠DBA=∠EBC.求证:AD·BE=CE·BD.图224【精彩点

4、拨】 先利用定理2得到∠BCE=∠A,再利用△ABD∽△CBE,结论得证.【自主解答】 因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BCE=∠A.因为∠DBA=∠EBC,所以△ABD∽△CBE,所以=,所以AD·BE=CE·BD.1.在本题的证明过程中,利用定理2得到∠BCE=∠A是关键.2.圆内接四边形的性质即对角互补,一个外角等于其内对角,可用来作为三角形相似或两直线平行的条件,从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系.[再练一题]1.如图225所示,已知四边形ABCD内接于⊙O,延长AB和DC相

5、交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于F,G.图225求证:∠CFG=∠DGF.【导学号:07370033】【证明】 ∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠EBF=∠ADE.又EF是∠AED的平分线,则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG,∴∠EFB=∠DGF.又∵∠EFB=∠CFG,∴∠CFG=∠DGF. 圆内接四边形的综合应用 如图226,已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E.图226(1)求证:AD的延长线DF平分∠CDE;(2

6、)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+,求△ABC外接圆的面积.【自主解答】 (1)证明:如图,∵A,B,C,D四点共圆,∴∠CDF=∠ABC.又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心,连接AO并延长交BC于H,则AH⊥BC.连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,∴∠OCH=60°.设圆半径为r,则r+r=2+,

7、得r=2,外接圆的面积为4π.1.解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置,然后用外接圆的半径表示出BC边上的高.2.此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用,最终得到某些结论的成立.[再练一题]2.如图227所示,AB,CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点,延长FD,AB使它们交于点E.求证:AE·AC=AF·DE.图227【证明】 如图,连接BD,∵AB∥CD,∴BD=AC.∵A,B,D,F四点共圆,∴∠EBD=∠F.又∵∠DEB=∠FEA,

8、∴△EBD∽△EFA,∴=,∴=,即AE·AC=AF·DE.[探究共研型]圆内接四边形的判定定理及其推论探究 圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系?【提示】 性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定理的推论互为逆定理. 如图228所示,在△ABC中,AD=DB,DF⊥AB交AC于F,AE=EC,EG⊥AC交AB于G,求证:图228(1)D,E,F,G四点共圆;(2)G,B,C,F四点共圆.【精彩点拨】 (1)要证D,E,F,G四点共圆,只需找到过这四点的外接

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