高中数学第2讲直线与圆的位置关系2圆内接四边形的性质与判定定理学案新人教a版选修4

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1、二　圆内接四边形的性质与判定定理1．了解圆内接四边形的概念．2．掌握圆内接四边形的性质、判定定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1　圆内接四边形的性质定理阅读教材P27～P28定理2，完成下列问题．1．定理1：圆的内接四边形的对角互补．如图221，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.图2212．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．图222如图222，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.四边

2、形ABCD内接于圆O，延长AB到E，∠ADC＝32°，则∠CBE等于(　　)A．32°　　　　　　B．58°C．122°D．148°【解析】　根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，∠CBE＝32°.【答案】　A教材整理2　圆内接四边形的判定定理及推论阅读教材P28～P29，完成下列问题．1．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．2．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．若AD，BE，CF为△ABC的三条高线，交于H，则图223

3、中四点共圆的组数是(　　)图223A．3B．4C．5D．6【解析】　其中B，D，H，F共圆；C，D，H，E共圆；A，E，H，F共圆；A，F，D，C共圆；B，C，E，F共圆；A，B，E，D共圆．【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]圆内接四边形的性质　如图224，圆内接四边形ABCD的一组对边AB，DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC.求证：AD·BE＝CE·BD.图224【精彩点

4、拨】　先利用定理2得到∠BCE＝∠A，再利用△ABD∽△CBE，结论得证．【自主解答】　因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCE＝∠A.因为∠DBA＝∠EBC，所以△ABD∽△CBE，所以＝，所以AD·BE＝CE·BD.1．在本题的证明过程中，利用定理2得到∠BCE＝∠A是关键．2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．[再练一题]1．如图225所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相

5、交于点E，EG平分∠AED，且与BC，AD分别交于F，G.图225求证：∠CFG＝∠DGF.【导学号：07370033】【证明】　∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线，则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG，∴∠EFB＝∠DGF.又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.　圆内接四边形的综合应用　如图226，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图226(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2

6、)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求△ABC外接圆的面积．【自主解答】　(1)证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋r＝2＋，

7、得r＝2，外接圆的面积为4π.1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高．2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立．[再练一题]2．如图227所示，AB，CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD，AB使它们交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.图227【证明】　如图，连接BD，∵AB∥CD，∴BD＝AC.∵A，B，D，F四点共圆，∴∠EBD＝∠F.又∵∠DEB＝∠FEA，

8、∴△EBD∽△EFA，∴＝，∴＝，即AE·AC＝AF·DE.[探究共研型]圆内接四边形的判定定理及其推论探究　圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】　性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．　如图228所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求证：图228(1)D，E，F，G四点共圆；(2)G，B，C，F四点共圆．【精彩点拨】　(1)要证D，E，F，G四点共圆，只需找到过这四点的外接