高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、二圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．圆内接四边形的性质　如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相

2、交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.　本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，证A，D，E，F四点共圆后可得结论．　连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A

3、，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°，∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.2.已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4.∴AB＝AC.(2)∵∠3＝

4、∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.∴＝.∵AB＝AC＝3cm，AD＝2cm，∴AE＝＝cm.∴DE＝－2＝(cm).圆内接四边形的判定　如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.求证：E，D，P，F四点共圆．　可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．　如图，连接PF，∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF＝AC.∵FC＝AC，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点

5、．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的常见方法：(1)如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯

6、一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D，E，F，G四点共圆；(2)G，B，C，F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D，E，F，G四点距离

7、相等，∴D，E，F，G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D，E，F，G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G，B，C，F四点共圆.圆内接四边形的综合应用　(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积

8、的比值．　(1)要证CA是△ABC外接圆的直径，只需证∠ABC为直角；(2)要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比．　(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE