高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 三 圆的切线的性质及判定定理学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、三圆的切线的性质及判定定理1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．圆的切线的性质　如图，已知∠C＝90°，点O在A

2、C上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于点E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．　⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．　连接OE.∵AB与⊙O切于点E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.∵∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴＝.∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴＝，∴OE＝，即⊙O的半径为.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定

3、理求解，或利用三角形相似求解等．1.如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求证：(1)BD＝CD.(2)△AOC≌△BDC.证明：(1)因为AD为⊙O的直径，所以∠ACD＝90°.又因为∠A＝30°，OA＝OC＝OD，所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°.又因为BC与⊙O切于C点，所以∠OCB＝90°.∠BCD＝30°，∠B＝30°，∠BCD＝∠B，BD＝CD.(2)因为∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，所以AC＝BC.在△AOC和△BDC中，所以△AOC≌△BDC.2.如图，已知PA

4、B是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD垂直PC交PC的延长线于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.(1)求∠P的度数；(2)求DE的长．解：(1)连接OC.∵C为切点，∴OC⊥PC，△POC为直角三角形．∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，∴sin∠P＝＝.∴∠P＝30°.(2)∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，得BD＝.连接AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin30°＝1，∴DE＝BD－BE＝.圆的切线的判定　已知D是△

5、ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．→→→→.　如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.∵∠DCB是所对的圆周角，∠BOD是所对的圆心角，∠BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，从而∠BOC＝120°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，∵∠EOC＝∠ECO＝30°，∴OE＝EC.在△BOE中，∵∠BOE＝90°，∠EBO＝30°.

6、∴BE＝2OE＝2EC，∴＝＝，∴AB∥OD，∴∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：作直径BE，连接DE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠E＋∠DBE＝90°.∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，∴∠ABD＋∠DBE＝90°.即∠ABE＝90°.∴AB是△BCD的外接圆的切线

7、．4.如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30°.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AC＝6，求AD的长．解：(1)证明：如图，连接OA，∵sinB＝，∴∠B＝30°.∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°.∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°.∴AD是⊙O的切线．(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形．∴OA＝AC＝6.∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AO＝6.圆的切线的性质和判定的综合考查　如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E

8、，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．　(1)