高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用学案含解析

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用回归直线方程教材《必修3》中学习了回归直线方程＝x＋.问题1：回归直线方程准确地反映了x，y之间的关系吗？提示：不是．问题2：所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？提示：可以，但拟合程度很差．1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2．回归直线方程方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为：其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．线性回归方程中系数的含义(1)是回归直线的斜率的估计值，表示x每增加一个

2、单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当＞0时，变量y与x具有正的线性相关关系；当＜0时，变量y与x具有负的线性相关关系．线性回归分析具有相关关系的两个变量的回归直线方程＝x＋.问题1：预报变量与真实值y一样吗？16提示：不一定．问题2：预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？提示：越小越好．1．残差平方和法(1)i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)，称为相应于点(xi，yi)的残差．(2)残差平方和(yi－i)2越小，模型拟合效果越好．2．残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域宽度越窄，说明模型的

3、精确度越高．3．利用相关指数R2刻画回归效果其计算公式为R2＝1－，其几何意义：R2越接近于1，表示回归效果越好．1．在线性回归模型中，因为e是一个随机变量，所以可以通过其数字特征来刻画它的一些总体特征．2．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．求线性回归方程　某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据．x/百万元24568y/百万元3040605070(1)画出散点图；16(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？　(1)散点图如图所示：(2)列出下表，并

4、用科学计算器进行有关计算.i12345合计xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x416253664145所以，＝＝5，＝＝50，＝145，iyi＝1380.于是可得＝＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．求线性回归方程的步骤(1)列表表示xi，yi，xiyi，x；(2)计算，，，iyi；(3)代入公式

5、计算，的值；16(4)写出线性回归方程.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据．x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解：(1)如图：(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，＝＝4，＝62＋82＋102＋122＝344，＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，＝0.7×9－2

6、.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.线性回归分析16　已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据.x/元1416182022y/件1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴＝＝＝－1.15＝－＝7.4＋1.15×18＝28.1，∴所求回归直线方程为＝－1.15x＋28.1.列出残差表yi－i00.3－0.4－

7、0.10.2yi－4.62.6－0.4－2.4－4.4∴(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，R2＝1－≈0.994，故回归模型的拟合效果很好．在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行．在求R2时，通常采用分步计算的方法，R2越大，模型的拟合效果越好．关于x与y有如下数据：16x24568y3040605070有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．解：由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表：yi－i－0.5－3.510－6.50.5yi－－