高中数学第三章统计案例-3.1回归分析的基本思想及其初步应用课堂导学案

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用课堂导学三点剖析一、回归方程及其应用【例1】研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：水深x/m1.401.501.601.701.801.902.002.10流速Y/(m·s-1)1.701.791.881.952.032.102.162.21（1）求Y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？思路分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如图所示.由图容易看出，x与

2、Y之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个回归直线方程=a+bx来反映这种关系，这些是我们在必修模块数学3中学过的知识.进一步观察这8个点，容易发现它们并不是“严格地”在一条直线上，对于某个xi，由上式能确定一个=a+bxi，一般地说，由于测量流速可能存在误差，或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归直线方程本身就不够精确，与测得的数据yi很可能不相等，即yi=i+ei(i=1,2,…,8),其中ei是随机误差项.于是，就有yi=a+bxi+ei(i=1,2,…,8),这就是本题的线性模型.从上述线性模型出发，我们可

3、以求出a与回归系数b的估计值,，使得全部误差e1,e2,…,e8的平方和达到最小，当然，这是一种很好的估计.最后得到的求,的数学公式为=.解析：（1）可采用列表的方法计算a与回归系数b.序号xyx2xy11.401.701.962.38021.501.792.252.68531.601.882.563.00841.701.952.893.31551.802.033.243.65461.902.103.613.99072.002.164.004.32082.102.214.414.641∑14.0015.8224.9227

4、.993于是，=×14.00=1.75,=×15.82=1.9775,=≈0.733.=1.9775-×1.75≈0.694.Y对x的回归直线方程为=+x=0.694+0.733x.回归系数=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1m，水的流速平均增加0.733m/s(本例数据是以0.1m为水深间隔测得的），=0.694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分.（2）由（1）中求出的回归直线方程，把x=1.95代入，易得=0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s).计算结果表明，当水深为1.95m时可

5、以预测渠水的流速约为2.12m/s.二、熟悉建立回归模型的基本步骤，会分析残差图的异常情况【例2】1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP）的数据如下：年份GDP199334634.4199446759.4199558478.1199667884.6199774462.6199878345.2199982067.5200089468.1200197314.82002104790.6（1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么？（2）建立年份的解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差.（

6、3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，并查资料，看看你的预报与实际的GDP的误差是多少？（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由.解析：（1）（2）从上图中可以看出，x与y之间有近似的线性相关关系，即可以用一个回归直线方程=x+表示通过计算可得=×19975=1997.5=×734204.7=73420.47=7206.5=73420.47-7206.5×1997.5=-14321563.28∴y对x的回归直线模型为=7206.5x-14321563.28残差为：x199319941995

7、19961997y34634.446759.458478.167884.674462.6-6356.82-1438.323073.885273.884645.38x19981999200020012002y78345.282067.589468.197314.8104790.61321.48-2162.72-1968.2-1328.42-1059.12（3）=7206.5×2003-14321563.28=113056.22（亿元）2003年的实际GDP为117390亿元，误差为4333.78亿元.(4）以样本编号为横坐

8、标，残差为纵坐标作残差图.从残差图可以看出这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系.三、比较拟合效果的基本步骤【例3】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表1中，试建立y与x之间的回归方程.表1温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325解析：根据收集的数据作散