高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用学案含解析

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1、1.7定积分的简单应用定积分在几何中的应用如右图，由直线x＝a，x＝b，曲线y＝f(x)和x轴围成的曲边梯形面积为S1.由直线x＝a，x＝b，曲线y＝g(x)和x轴围成的曲边梯形的面积为S2.问题1：如何求S1?提示：S1＝f(x)dx.问题2：如何求S2?提示：S2＝g(x)dx.问题3：如何求阴影部分的面积S?提示：S＝S1－S2.平面图形的面积由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围图形的面积．(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积S＝dx.(2)如图②所示，f(x)>0，g(x

2、)<0，所以所求面积S＝f(x)dx＋＝dx.相交曲线所围图形的面积求法如下图，在区间上，若曲线y＝f(x)，y＝g(x)相交，则所求面积S＝S1＋S2＝dx＋＝

3、f(x)－g(x)

4、dx.12定积分在物理中的应用问题：在《1.5.2　汽车行驶的路程》中，我们学会了利用积分求物理中物体做变速直线运动的路程问题，利用积分还可以解决物理中的哪些问题？提示：变力做功．1．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间上的定积分，即s＝2．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做

5、直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

6、图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图象上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形面积．解：作图，并由解得交点(0,1)．所求面积为(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－2.需分割的图形的面积求解　求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．　先求抛物线和直线的交点，解方程组求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．法一：选

7、x为积分变量，变化区间为，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S＝S1＋S2＝2dx＋(－x＋4)dx＝x＋＝18.法二：选y作积分变量，则y的变化区间为，如图得所求的面积为S＝dy＝＝18.12需分割的图形的面积的求法由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线不同．求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．试求由抛物线y＝x2＋1与直线y＝－x＋7以及x轴、y轴所围成图形的面积．解：画出图形(如下图)．解方程组得或

8、(舍去)，即抛物线与直线相交于点(2,5)．于是所求面积为S＝(x2＋1)dx＋(7－x)dx＝＋＝＋＝.求变速直线运动的路程、位移　A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2tm/s，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)m/s，经ts后，在B点恰好停车．试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离．　(1)设A到C的时间为t1，则1.2t1＝24，t1＝20s，12则AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m

9、)．(2)设D到B的时间为t2，则24－1.2t2＝0，t2＝20s，则DB＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．求变速直线运动的路程、位移应关注三点(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．一点在直线上从时刻t＝0(单位：s)开始以速度v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s时运动的路程．解：(1)在t＝4s时该点的位移为(t2－4t＋3)dt

10、＝＝(m)，即在t＝4s时该点距出发点m.(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间及上v(t)≥0，在区间上，v(t)≤0.∴在t＝4s时的路程为s＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝－